Kurvenlänge

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07.05.2009, 17:50	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge Hallo, es geht um folgende Aufgabe: Berechnen Sie die Länge folgender Kurven: $\begin{eqnarray} f(t):=(e^t\cos t, e^t \sin t), 0\leq t \leq \pi \end{eqnarray}$ Zunächst bestimme ich die Ableitung: $\begin{eqnarray} f'(t)=(e^t(\cos t -\sin t),e^t(\sin t + \cos t)) \end{eqnarray}$ Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray} L(0,\pi)=\int_{0}^{\pi}~\|\|f'(t)\|\|~dt=\int_{0}^{\pi}~\|\|(e^t(\cos t -\sin t),e^t(\sin t + \cos t))\|\| dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{0}^{\pi}~\|\|f'(t)\|\|~dt=\int_{0}^{\pi}~e^{t}\sqrt{2(\cos^2(t)+sin^2(t))} dt=[\sqrt{2}e^t]_{0}^\pi=\sqrt{2}e^{\pi}-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
07.05.2009, 18:12	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
07.05.2009, 19:54	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Nächste Funktion: $\begin{eqnarray} f(t)=(e^t-1,4e^{\frac{t}{2}}), -8\leq t\leq 3 \end{eqnarray}$ Die Ableitung ist: $\begin{eqnarray} f'(t)=(e^t,2e^{\frac{t}{2}}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L(-8,3)=\int_{-3}^{8}~\|\|f'(t)\|\|~dt=\int_{-3}^{8}~\|\|(e^t,2e^{\frac{t}{2}})\|\|~dt=\int_{-3}^{8}~\sqrt{e^{2t}+4e^t} \end{eqnarray}$ Hier fehlt mir jetzt leider die richtige Substitution, scheint kein so einfaches Integral zu sein. Man könnte das Integral auch noch so schreiben: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{8}~\sqrt{e^{2t}+4e^t}=\int_{-3}^{8}~\sqrt{(e^t+2)^2-4} \end{eqnarray}$ Sehe immer noch keine gute Substitutionsmöglichkeit
07.05.2009, 22:14	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe lautet weiter: Skizzieren sie die Spur des Weges. Und da habe ich leider keine Ahnung wie man die Spur zeichnet. Wie geht man da vor und wie macht man sowas. Ich kenne den Anfangspunt $\begin{eqnarray} f(0)=(1,0) \end{eqnarray}$ und den Endpunkt $\begin{eqnarray} f(\pi)=(-e^{\pi},0) \end{eqnarray}$ . Bringt mir das was?
07.05.2009, 23:43	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{-3}^{8}\sqrt{e^{2t}+4e^t}dt=\int_{-3}^{8}\frac{e^{2t}+4e^t}{\sqrt{e^{2t}+4e^t}}dt=\int_{-3}^{8}\frac{e^{2t}+2e^t}{\sqrt{e^{2t}+4e^t}}dt+\int_{-3}^{8}\frac{2e^t}{\sqrt{e^{2t}+4e^t}}dt \end{eqnarray}$ Das erste Integral erinnert stark an die Ableitung der Wurzelfunktion, beim Zweiten würde ich mal e^t substituieren, wenn ich micht vergucke, kann man dann durch eine weitere Substitution den Radikanden auf y²-c² zurückführen. Vielleicht gehts aber noch viel einfacher
08.05.2009, 16:08	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann mir nicht vorstellen dass das Integral so schwer ist. Habe bestimmt einen Fehler bis zum Integral
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08.05.2009, 17:46	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwer ist das doch gar nicht, was Ungewiss da tut: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{8}\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}~\mathrm dt=\frac{1}{2}\int_{-3}^{8}\frac{2\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}}~\mathrm dt+\int_{-3}^{8}\frac{\operatorname e^t}{\sqrt{\left(\frac{\operatorname e^t+2}{4}\right)^2-1}}~\mathrm dt \end{eqnarray}$ . Wie erwähnt, hilft beim ersten Integral die Substitution $\begin{eqnarray} u=\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t \end{eqnarray}$ . Das zweite Integral wird mit $\begin{eqnarray} v=\frac{\operatorname e^t+2}{4} \end{eqnarray}$ zu einem Grundintegral, was man, falls man es nicht kennt, dann durch die Substitution $\begin{eqnarray} v=\cosh z \end{eqnarray}$ auch schnell lösen kann.
08.05.2009, 18:42	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgendes Integral raus: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{8}\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}=\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}+\sinh\left(\frac{e^t+2}{4}\right)~\mathrm dt \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Ich verstehe trotzdem deine Umformung nicht ganz: $\begin{eqnarray} \int_{-3}^{8}\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}~\mathrm dt=\frac{1}{2}\int_{-3}^{8}\frac{2e^{2t}+8e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}}~~\mathrm dt=\frac{1}{2}\int_{-3}^{8}\frac{2e^{2t}+4e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}}~~\mathrm dt+\frac{1}{2}\int_{-3}^{8}\frac{4e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}}~~\mathrm dt \end{eqnarray}$ . Wie kommst du jetzt auf den zweiten Summanden?
08.05.2009, 20:26	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Der zweite Summand ensteht dadurch, dass man 8 als 4+4 schreibt.
08.05.2009, 20:36	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Das weiß ich den Schritt habe ja auch ich gemacht. Sorry ich habe mich glaube nicht klar ausgedrückt. Meine Frage war: Wie komme ich von: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot \frac{4e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \frac{\operatorname e^t}{\sqrt{\left(\frac{\operatorname e^t+2}{4}\right)^2-1}} \end{eqnarray}$ kommt.
08.05.2009, 20:44	Musti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe es: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\cdot \frac{4e^t}{\sqrt{\operatorname e^{2t}+4\operatorname e^t}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2^2}e^t}{\sqrt{(e^t+2)^2-4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{e^t}{\sqrt{\frac{(e^t+2)^2}{2^2}-1}}=\frac{1}{\sqrt{2^2}}\frac{\operatorname e^t}{\sqrt{\left(\frac{\operatorname e^t+2}{2}\right)^2-1}}=\frac{\operatorname e^t}{\sqrt{\left(\frac{\operatorname e^t+2}{4}\right)^2-1}} \end{eqnarray}$ Ich glaub ich habs Editiert: Edit: Da ist doch was falsch Das was oben steht stimmt nicht, ich hab aber die Umformung jetzt hinbekommen. Jetzt bräcuhte ich noch eine Bestätigung ob ich das Integral richtig bestimmt habe.

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