(Knobel)Beweis Determinante aus Binomialkoeffizienten

07.05.2009, 16:19	bappi	Auf diesen Beitrag antworten »
(Knobel)Beweis Determinante aus Binomialkoeffizienten Hallo! Ich hab eine schöne (schon fast Knobel)Beweisaufgabe. Seien $\begin{eqnarray} m,n\in\mathbb N, m\geq n \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie $\begin{eqnarray} \left\| \begin{matrix} 1 & { m\choose 1} & {m \choose 2} & \dots & {m\choose n} \\ 1 & { m+1\choose 1} & {m+1 \choose 2} & \dots & {m+1\choose n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\ 1 & { m+n\choose 1} & {m+n \choose 2} & \dots & {m+n\choose n} \\ \end{matrix} \right\| \end{eqnarray}$ Ich denke, wenn man einmal ein "System in der Lösung" entdeckt hat, ist es nur noch Vollständige Induktion. Ich habs auch schon mit $\begin{eqnarray} m=2,n=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m = 2, n=2 \end{eqnarray}$ versucht, nur leider kann ich nichts erkennen... Ihr habt bestimmt eine Idee! MfG
07.05.2009, 17:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine $\begin{eqnarray} (n+1)\times (n+1) \end{eqnarray}$ -Matrix, von der hier die Determinante bestimmt werden soll. Subtrahiere von der (n+1)-ten Zeile die n-te Zeile, dann von der n-ten Zeile die (n-1)-te, usw. ... , von der zweiten Zeile die erste. Dabei nutze die Bildungsformel des Pascalschen Dreiecks! Das war's im wesentlichen.
07.05.2009, 20:58	bappi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Knobel)Beweis Determinante aus Binomialkoeffizienten Super, danke ich probiers gleich mal aus!
07.05.2009, 22:05	bappi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja nun erstmal: $\begin{eqnarray} \left\| \begin{matrix} 1 & { m\choose 1} & {m \choose 2} & \dots & {m\choose n} \\ 0 & { m+1\choose 1} - {m\choose 1}& {m+1 \choose 2} -{m\choose 2}& \dots & {m+1\choose n} - {m\choose n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\ 0 & { m+n\choose 1} - {m+n-1\choose 1}& {m+n \choose 2} - {m+n-1\choose 2}& \dots & {m+n\choose n} - {m+n-1\choose n}\\ \end{matrix} \right\| \end{eqnarray}$ Dann ist ja $\begin{eqnarray} { m+1\choose 1} - {m\choose 1} = {m\choose 0} \end{eqnarray}$ , etc. in der 2. Spalte. Setzt man das nun fort, ist die 3. Spalte $\begin{eqnarray} {m \choose 1} \end{eqnarray}$ 4. Spalte $\begin{eqnarray} {m\choose 2} \end{eqnarray}$ usw. und weil ja gilt $\begin{eqnarray} {n\choose k} + {n\choose k-1} = {n+1 \choose k} \end{eqnarray}$ erhalten wir also $\begin{eqnarray} && \left\| \begin{matrix} 1 & { m\choose 1} & {m \choose 2} & \dots & {m\choose n} \\ 0 & 1 & {m+1 \choose 2} -{m\choose 2}& \dots & {m+1\choose n} - {m+1\choose n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \, & \vdots \\ 0 & 1 & {m+n \choose 2} - {m+n-1\choose 2}& \dots & {m+n\choose n} - {m+n-1\choose n}\\ \end{matrix} \right\| \\ && \text{Entwickeln nach der ersten Spalte} \\ &=& \left\| \begin{matrix} 1 & {m \choose 1}& \dots & {m\choose n-1}\\ \vdots & \vdots & \, & \vdots \\ 1 & {m+n \choose 2} - {m+n-1\choose 2}& \dots & {m+n\choose n} - {m+n-1\choose n}\\ \end{matrix} \right\| \end{eqnarray}$ Jetzt wenden wir noch einmal die gleiche Summation an, das n Mal, dann bleibt am Ende nur noch $\begin{eqnarray} \text{det}(\cdots) = 1 \end{eqnarray}$ Ich hoffe das kommt so hin =D. Edits: Rechtschreibfehler beseitigt + Editnote.

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