Diskrete Verteilung, Poisson

07.05.2009, 20:30	klausurlerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Diskrete Verteilung, Poisson Hallo, ich habe bald mal mein Stochastikexamen und brauche noch etwas "Nachhilfe". Ich versuche mich gerade an alten Klausurbeispielen und brauche etwas Unterstützung und Hilfe. Die Aufgabe ist wie folgt: Im Mittel trifft alle 10 Minuten ein Ereignis ein. Anzahl k der in t Minuten eintreffenden Ereignissen is poissonverteilt und kann mit dem Parameter $\begin{eqnarray} \lambda = t / 10 \end{eqnarray}$ angenommen werden. Es gibt dazu a), b) und c) Teilaufgaben zu lösen und will mal mit a) anfangen: a) Wie oft ist die Wahrscheinlichkeit, dass in 10 MInuten genau viermal das Ereignis eintritt? Da t = 10 Minuten ist ist mein Lambda = 1. Mit dem "genau viermal" bin ich mir noch unsicher. Aber hiermal mein Ansatz: $\begin{eqnarray} P(x=4) = e^{-1} \frac{1^x}{x!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(x=4) = 1-e^{-1} * \frac{1^0}{0!} - e^-1 * \frac{1^1}{1!} - e^{-1} * \frac{1^2}{2!} - e^{-1} * \frac{1^3}{3!} - e^{-1} * \frac{1^4}{4!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(x=4) = 0,374 \end{eqnarray*}$ Ist das der richtige Ansatz? Das kommt mir nämlich irgendwie zu hoch vor Danke, lg
08.05.2009, 22:01	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Verteilung, Poisson Hallo, der Ansatz ist ok, du hast dich schlicht verrechnet $\begin{eqnarray} e^{-1} \frac{1^0}{0!} =0.3679 \end{eqnarray}$ ebenso $\begin{eqnarray} e^{-1} * \frac{1^1}{1!} =0.3679 \end{eqnarray}$ desweiteren $\begin{eqnarray} e^{-1} * \frac{1^2}{2!} =0.1834 \end{eqnarray*}$ ergibt wenn man von 1 subtr. schon jetzt max 0.08
08.05.2009, 23:08	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diskrete Verteilung, Poisson Du kannst natürlich p für "genau vier Mal" auch direkt ausrechnen: $\begin{eqnarray} P(x=4) = e^{-1} \frac{1^4}{4!} =0,015 \end{eqnarray*}$
09.05.2009, 17:11	klausurlerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Super Danke!!! Mal wieder Schlampigkeitsfehler reingeschlichen. Jetzt weiss ich auch was zu tun ist wenn ich das ganze für "genau viermal" berechnen muss. Danke vielmals für die Erklärung! Jetzt zu Frage b) aus diesem Beispiel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten in einer Viertelstunde mindestens drei dieser Ereignisse ein? Mein Ansatz: Also ist $\begin{eqnarray} \lambda = 15 / 10 = 1,5 \end{eqnarray}$ Daher berechne ich jetzt: $\begin{eqnarray} P(\geq 3) = 1-e^{-1,5} \frac{1,5^0}{0!} - e^{-1,5} * \frac{1,5^1}{1!} - e^{-1,5} * \frac{1,5^2}{2!} - e^{-1,5} * \frac{1,5^3}{3!} \end{eqnarray*}$ Bin ich auch hier halbwegs auf dem richtigen Weg? Wobei ich hier jetzt denke ich nicht berücksichtige, dass in 15 Minuten im Mittel das Ereignis 1 1/2 mal eintritt. Danke
09.05.2009, 17:35	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, dass lambda unverändert bleibt, weil es sich um den gleichen Vorgang handelt. 3 in 15min entspricht 2 in 10: Also P(x>1) oder 1-P(x=0)-P(x=1) berechnen
11.05.2009, 10:09	klausurlerner	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp. Wenn Lambda unverändert bleibt bekommen ich dann für $\begin{eqnarray} P(\geq 1) = 1-e^{-1} \frac{1^0}{0!} - e^{-1} * \frac{1^1}{1!} = 0,2642 \end{eqnarray}$ Und die letzte Frage bei diesem Beispiel wäre: Wie lange muss man beobachten das 90% Wahrscheinlichkeit solch ein Ereignis eintritt? Dazu habe ich mir erstmals folgende Gedanken gemacht. $\begin{eqnarray} 0,9 = e^{-\lambda} * \frac{\lambda^1}{1!} \end{eqnarray}$ Diese Formel nach Lambda hin auflösen und das Ergebnis mit 10 multiplizieren da $\begin{eqnarray} \lambda = t / 10 \end{eqnarray*}$
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15.05.2009, 03:00	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst ja die WK, dass es zu 90% mindestens einmal eintritt, d.h. die WK, dass es gar nicht eintritt muss 0,1 sein: $\begin{eqnarray} 0,1 = e^{-\lambda} \frac{\lambda^0}{0!} \end{eqnarray*}$

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