Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

05.06.2004, 21:55

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

Hallo!
Ich bräuchte echt eure Hilfe, vll kann ja jemand folgende Aufgabe lösen, denn ich krieg das echt nicht auf die Reihe, weil ich scheinbar mathe-unbegabt bin und dazu noch nen schlechten Lehrer erwischt habe.

Die durch y= -5/8x + 5 beschriebene Gerade begrenzt im 1.Quandranten zusammen mit den x- und y- Achsenabschnitten ein rechtwinkliges Dreieck. Diesem Dreieck sind Rechtecke so einzubeschreiben, dass zwei Seiten auf den Katheten liegen und eine Ecke auf der Hypotenuse.
Welches dieser Rechtecke hat den größten Flächeninhalt ?
Wie groß ist Amax ?

Ich habe davon echt keine Ahnung, bräuchte aber Montag unbedingt die Hausaufgabe!!! Denn ansonsten kriege ich in Mathe einen Unterkurs traurig

traurig

Wir schreiben nämlich keine Klausuren mehr und ich kann nur noch punkten indem ich die Lösungen der Hausaufgaben abspule... traurig

traurig

Daaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaanke!!!!!!

05.06.2004, 22:04

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung- Hilfe!
Du stellst deine Hauptbedingung für den Flächeninhalt auf. A=x*y Die Nebenbedingung ist die Geradengleichung. Dann setzt du für y das ein, wodurch es mit der Geradengleichung ausgedrückt ist, dann ableiten und du hast den x-Wert. Mit der Geradengleichung den y-Wert ausrechnen und dann den Flächeninhalt. Fertig.

05.06.2004, 23:06

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs. x=4
A(4)= 10

Danke.

Hab aber noch vieeeeeeel mehr Probs mit folgender Aufgabe:

Welches von allen möglichen Rechtecken, deren Flächeninhalt 25cm^2 beträgt, besitzt den kleinsten Umfang ?
Wie groß ist Umin ?

05.06.2004, 23:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Soulmate
ich habs. x=4
A(4)= 10

Danke.

Hab aber noch vieeeeeeel mehr Probs mit folgender Aufgabe:

Welches von allen möglichen Rechtecken, deren Flächeninhalt 25cm^2 beträgt, besitzt den kleinsten Umfang ?
Wie groß ist Umin ?

Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen, Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptebedingung einsetzen. Ableitung bilden, fertig. Ich geb dir mal den Anfang bzw. schon den größten Teil:

$\begin{align*} 25\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{25}{a}\ =\ b \end{align*}$

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ b) \end{align*}$

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ \frac{25}{a}\) \end{align*}$

Den Rest wie gehabt.

06.06.2004, 18:25

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptbedingung:

A= a * b

und Nebenbedingung:

U= 2 ( a * b)

stimmts?

und warum hast du das gemacht was du gemacht hast? warum ist b= 25/a ?

06.06.2004, 19:03

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Könnt ihr mir nicht helfen? Ich brauche morgen doch unbedingt die Hausaufgabe traurig

traurig

Anzeige

06.06.2004, 19:05

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, deine Gleichungen sind richtig. Jetzt ist wie du gesagt hast,

$\begin{align*} A\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

Da der Flächeninhalt 25 sein soll gilt:

$\begin{align*} A\ =\ 25 \end{align*}$

also

$\begin{align*} 25\ =\ a\ \cdot \ b \end{align*}$

Jetzt teile ich einfach die ganze Gleichung durch a

$\begin{align*} b\ =\ \frac{25}{a} \end{align*}$

Dann hast du die Gleichung

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ b) \end{align*}$

Jetzt setzt du für b das ein, was oben steht. Da

$\begin{align*} b\ =\ \frac{25}{a} \end{align*}$

ist dann eingesetzt für b in die andere Gleichung

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ \frac{25}{a}) \end{align*}$

Das kannst du jetzt ableiten und du bist schon fast fertig.

06.06.2004, 19:31

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erklärung!

Und wie leitet das man ab?
Denn bis jetzt habe ich immer nur so ein kram wie: f(x)= 2x^3 abgeleitet...

Sorry, ich will dich nicht ärgern- ich kann das bloß echt nicht.

06.06.2004, 19:58

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du leitest einfach das in der Klammer nach der Summenregel ab.

Die Ableitung von a ist 1. Und die Ableitung von $\begin{align*} \frac{25}{a} \end{align*}$ , naja schonmal was von Quotientenregel gehört? Oder du kannst es auch so machen: Du formst es mit Potenzdefinition um:

$\begin{align*} \frac{25}{a}\ =\ 25a^{-1} \end{align*}$

und jetzt nach Faktorregel und der Regel

$\begin{align*} f'(a^n)\ =\ na^{n-1} \end{align*}$

ableiten und schon biste fertig. Am besten du postest mal dein Ergebnis.

06.06.2004, 20:10

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh das nicht und ich weiß nicht, wie mich das zum ergebnis führen soll.... ich muss doch rausfinden welches von allen möglichen rechtecken den kleinsten umfang besitzt...

das was du oben gepostet hast von wegen ableiten hab ich glaub ich nie gamacht, oder ich habe echt bis jetzt in mathe nur gepennt...

06.06.2004, 20:25

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du denn bei der allerersten Aufgabe das x herausgefunden? Wohl doch nicht ohne Ableiten!! Also weißt du was ableiten ist. Wenn du ableitest, bekommst du die Steigung der Tangente. An einem Hoch- oder Tiefpunkt muss die 0 sein, also setzt du die Ableitung gleich 0 und bist fertig.
Zu

$\begin{align*} 25a^{-1} \end{align*}$

Du weißt doch sicher, dass von 2x³ die Ableitung 6x² ist. Und wie kommst du darauf? Naja, die Ableitung von x³ ist ja 3x², da gibts doch auch ne allgemeine Regel, die ihr gelernt haben müsst. Die heißt ungefähr so:

Die Ableitung von $\begin{align*} x^n \end{align*}$ ist $\begin{align*} n\ \cdot\ x^{n-1} \end{align*}$ . Jetzt auf das Beispiel angewandt:

$\begin{align*} 25a^{-1} \end{align*}$

Die Ableitung ist dann:

$\begin{align*} 25\ \cdot \ (-1)\ \cdot\ a^{-1-1} \end{align*}$

$\begin{align*} =\ -25\ \cdot\ a^{-2} \end{align*}$

Also ist die gesamte Ableitung:

$\begin{align*} u'\ =\ 2(1\ -\ \frac{25}{a^2}) \end{align*}$

Das gleich 0 setzen:

$\begin{align*} 0\ =\ 2(1\ -\ \frac{25}{a^2}) \end{align*}$

Dann a ausrechnen und schon fertig!!!

06.06.2004, 20:58

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das ausrechne kriege ich a=5 raus.

Ist das richtig?
Und wie ist denn die Lösung von der Aufgabe. Also Umin?

06.06.2004, 21:06

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, a is richtig. Dann musst du aber noch b ausrechnen mit

$\begin{align*} b\ =\ \frac{25}{a} \end{align*}$

und den Umfang dann nach der Formel

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ b) \end{align*}$

oder du rechnest erst umin aus mit

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ \frac{25}{a}) \end{align*}$

und dann b mit

$\begin{align*} u\ =\ 2(a\ +\ b) \end{align*}$

Und dann biste schon fertig.

06.06.2004, 21:44

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

U=20 richtig?

aber das ist doch nicht das ergebnis? ich brauche doch Umin und muss rausfinden welches rechteck den kleinsten umfang beträgt...?

06.06.2004, 21:54

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptbedingung und Nebenbedingung aufstellen, Nebenbedingung nach einer Variablen umstellen und in Hauptebedingung einsetzen. Ableitung bilden, fertig. Ich geb dir mal den Anfang bzw. schon den größten Teil:

das ist ein zitat von dir. hast du da die haupt- und neben-bedingung miteinander verwechselt?

06.06.2004, 21:56

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist das das Ergebnis!! Du hast mit der Ableitung die Länge a bestimmt, bei der der Umfang am geringsten ist. Dann hast du den Umfang ausgerechnet, also ist das Umin. Jetzt kannst du sagen, das Rechteck, das bei einer Fläche von 25 cm² den kleinsten Umfang besitzt, hat als eine Seite 5 cm. Wenn du es ausrechnest, bekommst du für die andere Seite auch 5 cm!!! Du kannst also sogar sagen, dass das Quadrat mit dem Flächenihalt 25 cm² den kleinsten Umfang von allen Rechtecken mit gleichem Flächeninhalt besitzt.

07.06.2004, 18:40

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte mich nochmal bedanken! Gott

Gott

Konnte heute nämlich in Mathe mitarbeiten und hatte die Hausaufgabe. Das hat er sich sogar auf seinem Zettel notiert. (nur 8 Leute aus der Klasse hatten die Aufgabe)

Hab nochmal ne Frage, wegen den Ableitungen.

Also:

U= 2 (a + 25/a)
U`= 2 (1 - 25/a^2)

Wie müsste denn U``` lauten?

Ansonsten bräuchte ich noch bei einer weiteren Aufgabe Hilfe:

Welcher Punkt der durch y= - 2x + 4 beschriebenen Geraden hat die kleinste Entfernung vom Ursprung?
Wie groß ist emin ?

07.06.2004, 18:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Probier doch mal selber, ob du das schaffst, dann kann ich dir sagen, ob es richtig ist und außerdem ist es eine schöne Übung für dich!!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2004, 19:02

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich keine ahnung wie ich vorgehen soll und ich weiß auch nicht was emin ist.

07.06.2004, 19:14

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst wieder ne Nebenbedingung! Überleg mal, wie du die Entfernung vom Ursprung mit x und y beschreiben kannst!
emin soll wahrscheinlich der kleinste Abstand sein.

07.06.2004, 19:15

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm als Nebenbedingung einen Punkt auf der Geraden an (allgemein), Hauptbedingung ist dann der Abstand vom Ursprung bzw. der Betrag vom Ortsvektor des angenommenen Punktes. Alles andere wie üblich.
Wink

Wink

07.06.2004, 19:18

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauch doch auch ne hauptbedingung.

ist die wieder A= x * y ?
und Nebenbedingung: 2x - 2y ?

Oh man ich habe überhaupt keine ahnung unglücklich

unglücklich

Ich hoffe das wird sich nächsten Jahr mit dem neuen Lehrer ändern traurig

traurig

07.06.2004, 19:30

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Hauptbedingung ist für den Abstand r gilt:

r=...

Die musst du noch finden. Deine Nebenbedingung ist

y= - 2x + 4

Du willst einen Abstand, da kann A=... also der Flächeninhalt nicht die Hauptbedingung sein.

Für die Hauptbedingung geb ich dir mal ne Zeichung:

http://server5.uploadit.org/files/Mathespeziler-Unbenannt16.jpg

Idee?

07.06.2004, 19:39

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

r = (x+y) / 2 verwirrt

verwirrt

oder:

r= x / y

07.06.2004, 19:48

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Probiers mal mit Pythagoras!

07.06.2004, 19:52

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

r^2= x^2 + y^2

aber ich dachte das würde nicht stimmen, da du r=... und nicht r^2=... geschrieben hast.

und das ist jetzt also meine hauptbedingung?

07.06.2004, 20:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich mir schon gedacht, dass dich das irritiert hat. Du könntest aber auch die Wurzel ziehen und es dann nach r umstellen. Machen wir jetzt aber nicht.
Ja, das ist deine Hauptbedingung. Jetzt die Nebenbedingung in die Hauptbedingung einsetzen und die Hauptbedingung nach r² ableiten.

07.06.2004, 20:09

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du das so:

r^2 = x^2 - 2x + 4

2r = 2x - 2

??? und nun?

07.06.2004, 20:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, du musst ja das, was du für y einsetzt auch quadrieren. Und r^2 sollst du nicht ableiten. Das ist ja der Wert für den die Ableitung bildest:

$\begin{align*} r^2 = x^2 + (-2x + 4)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} r^2 = x^2 + 4x^2 - 16x +16 \end{align*}$

$\begin{align*} r^2 = 5x^2 -16x + 16 \end{align*}$

So und jetzt die rechte Seite ableiten!!

07.06.2004, 20:21

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist denn die rechte seite?

ich kann ja nichts ableiten, wenn ich nicht weiß was du damit meinst verwirrt

verwirrt

07.06.2004, 20:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "rechter Seite" meine ich die rechte Seite der Gleichung, also

$\begin{align*} 5x^2 -16x + 16 \end{align*}$

Das habe ich gesagt, da du vorher auch die linke Seite, also

$\begin{align*} r^2 \end{align*}$

abgeleitet hast, was du gar nicht sollst. Du sollst $\begin{align*} r^2' \end{align*}$ finden. Probier mal!

07.06.2004, 20:32

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

r^2´= 10x -16

r^2" = 10 / :Wurzel

r= Wurzel aus 10

so? verwirrt

verwirrt

07.06.2004, 20:42

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

1. Die 2.te Ableitung bringt doch nicht das Minimum!!!! Du musst die erste Ableitung nehmen und 0 setzen, so wie bei der anderen Aufgabe.

2. Wenn du abgeleitet hast, wie bekommst du dann für r^2 ein Minimum?? Was muss man denn machen??
Antwort: Du musst doch r^2=0 setzen. Das haben wir doch bei der anderen Aufgabe auch gemacht! Dann haben wir:

$\begin{align*} 0\ =\ 10x\ -\ 16 \end{align*}$

Das stellst du jetzt nach x um und du hast das Minimum!

07.06.2004, 20:47

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

x= 1 6/10

also emin= 1 6/10 ?

und nun fertig oder wie?

07.06.2004, 20:58

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du hast jetzt die x-Koordinate. Du sollst den Punkt bestimmen und musst also noch die y-Koordinate bestimmen und dann ja auch noch den Abstand r.

07.06.2004, 21:01

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie soll ich das machen? traurig

traurig

07.06.2004, 21:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Du kannst erst y ausrechnen mit:

$\begin{align*} y\ =\ -2x\ +\ 4 \end{align*}$

, da du ja x hast. Dann hast du x und y und rechnest damit r aus:

$\begin{align*} r^2\ =\ x^2\ +\ y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} r\ =\ \sqrt{x^2\ +\ y^2} \end{align*}$

2. Du rechnest erst r aus mit:

$\begin{align*} r^2\ =\ 5x^2\ -\ 16x\ +\ 16 \end{align*}$

$\begin{align*} r\ =\ \sqrt{5x^2\ -\ 16x\ +\ 16} \end{align*}$

und dann rechnest du y aus mit

$\begin{align*} r^2\ =\ x^2\ +\ y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} y^2\ =\ r^2\ - x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} y\ =\ \sqrt{r^2-x^2} \end{align*}$

Ich denke, das erste ist schneller, aber such dir was aus und poste dann deine Lösung!!!!

07.06.2004, 21:21

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe raus:

y= 0,8

und

r= 1,79

ist das richtig?

Und die Lösung ist dann, dass der Punkt (1,6 / 0,8 ) die kleinste Entfernung vom Ursprung hat?

Und emin= 1, 79

Sind das die richtigen Lösungen???

07.06.2004, 21:38

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. :] :]
Wenn du übrigens den Punkt mit dem Ursprung verbindest, dann steht die entstehende Strecke senkrecht auf der Gerade, denn genau dann ist die Strecke am kleinsten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.06.2004, 21:40

Soulmate

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh super!

Tanzen

Und nochmal zu der Aufgabe von gestern:

Sind folgende Ableitungen von: U= 2 (a + 25/a ) richtig?

U=2a+50/a
U`=-50/a^2+2
U``=100/a^3

123 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »