Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich? |
| 08.05.2009, 08:35 | chrisiny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich? wer hat eine anschauliche Beschreibung, was eigentlich Eigenvektoren, Eigenwerte etc. einer Matrix darstellen. Ich rechne mit Dingen, wo ich aber nicht was, was da eigentlich "untersucht" wird.... hat jmd ein gutes lin alg buch? Danke |
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| 08.05.2009, 08:49 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich? Na dann will ich das mal versuchen, aber vorsicht - allzuviel Anschaulichkeit geht einher mit Ungenauigkeit. 
Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert "entsteht" ein neuer Vektor. Eine Matrix ist also ein Operator, der Vektoren "dreht", "streckt" oder "staucht". Die Eigenvektoren einer Matrix sind genau jene, welche unter der Matrix nur "gestreckt" oder "gestaucht" werden - ihre Richtung bleibt jedoch erhalten. Der Streckungsfaktor ist der zugehörige Eigenwert. Hilft dir das schon? |
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| 08.05.2009, 09:44 | chrisiny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich? ok! des klingt ja fast banal!! und die eigenmatrix ist dann eine matrix die nur streckt oder staucht? wozu brauch dann die diagonalisierbarkeit?? ich bin leider noch ned (oder nicht mehr) sehr weit in dem thema drin... kann also mal sein, dass meine fragen arg trivial erscheinen danke |
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| 08.05.2009, 09:49 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich?
Was ist eine Eigenmatrix? Die Matrix bestehend aus allen Eigenvektoren? |
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| 08.05.2009, 10:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich?
Weil eine Diagonalmatrix eine wunderschöne Matrix ist. Mit der rechnet es sich doch toll und viel schneller. Selbst wenn man nahe drann (JNF) kommt, ist man doch froh über viele Nullen, die man beim berechnen von Ax berücksichtigen kann. Es fallen also Rechenschritte weg. |
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| 08.05.2009, 10:38 | chrisiny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Eigenwerte und Eigenvektoren - Was bedeutet das anschaulich? ich meinte, die matrix, die aus den eigenvektoren besteht (aus denen bildet man doch auch eine-normiert) |
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| 08.05.2009, 15:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, die Matrix, die aus den Eigenvektoren besteht, ist die Transformationsmatrix. Diese transformiert deine Basis in eine andere Basis, nämlich in die Basis, die genau aus den Eigenvektoren besteht. Diese Basis hat die schöne Eigenschaft, dass die Abbildunsmatrix bezüglich dieser Basis gerade eine Diagonalmatrix ist, auf deren Diagonalen genau die Eigenwerte deiner ursprünglichen Abbildung (Matrix) stehen. Man versucht also eine Basis zu finden, mit der man die Abbildung einfach beschreiben kann: Diese Basisvektoren werden nämlich von der Abbildung gerade nur gestaucht oder gestreckt. |
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