Probleme bei einem Beweis

08.05.2009, 10:42

Mompee09

Probleme bei einem Beweis

Hi Leute,
ich habe da ein Problem. Ich komme mit einem beweis nicht ganz klar. Kann mir da jemand helfen und mir sagen wie man sowas lößt ?

Die Aufgabenstellung heißt : Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

Leider weiß ich nicht wie man sowas lößt und welchen ansatz ich wählen muss.

Danke für die hilfe

Mompee09

08.05.2009, 12:07

Nubler

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hinweis: eins einfügen + binomische formel

sry, verschaut

08.05.2009, 12:55

Mompee09

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bitte was ? ich verstehe nicht ganz was du meinst ?

also ich habe im internet jetzt versucht was zu finden, aber irgendwie will es mir nicht einleuchten

ich bin jetzt so "weit "

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} * \frac{n!}{k!*(n-k)!} = 0 \end{eqnarray*}$

ich vermute mal , dass durch geschicktes ausklammern die lösung zu sehen ist.
kann mir jemand sagen was ich jetzt hier weiter machen muss ?

08.05.2009, 13:28

tmo

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Sei $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ beliebig. Da wir n gegen unendlich betrachten, kann man annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \geq 2k \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} 2^n \geq \binom{n}{2k}=\frac{n \dotsb (n-2k+1)}{2k!} = \frac{n \cdot \dotsb (n-k+1) }{k!} \cdot \frac{(n-k) \dotsb (n-2k+1)}{(k+1) \dotsb (2k)} = \binom{n}{k} \cdot \frac{(n-k) \dotsb (n-2k+1)}{(k+1) \dotsb (2k)} \end{eqnarray*}$

Nun bringe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n}\binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ auf eine Seite.

08.05.2009, 14:23

Mompee09

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hmm , ehrlich gesagt verstehe ich nicht was genau du da getan hast.

wieso nimmst du einfach an das n/2 > 2k ist ? also es ist offensichtlich so , aber wie kommst du auf sowas.

kann man das auch anders lösen ? eventuell mit voll. induktion ?

oder kannst du mir schritt für schritt erklären was genau du da gemacht hast .

danke und sorry für meine dummheit

08.05.2009, 14:27

Dual Space

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Zitat:

Original von Mompee09
kann man das auch anders lösen ? eventuell mit voll. induktion ?

Induktion über was? Über k? Was soll das bringen?

08.05.2009, 15:27

Mompee09

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hmm , stimmt eigentlich ...

aber wie komme ich den zu dem schritt
$\begin{eqnarray*} 2^{n} \leq \begin{pmatrix} n \\ 2k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
?

und der schritt von
$\begin{eqnarray*} \frac{n * .... * (n - 2k + 1)}{2k!} = \frac{n * .... * (n - k + 1)}{k!} * \frac{(n-k)* .... * (n - 2k + 1)}{(k+1)* ... * (2k)} \end{eqnarray*}$

ist mir auch nicht so ganz klar. kann mir das vielleicht jemand kurz erklären ?

09.05.2009, 11:45

Mompee09

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Ist es vielleicht möglich das mir das noch jemand kurz erklärt was tmo da genau gemacht hat ? Danke euch

09.05.2009, 12:26

tmo

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Zitat:

Original von Mompee09
aber wie komme ich den zu dem schritt
$\begin{eqnarray*} 2^{n} \leq \begin{pmatrix} n \\ 2k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
?

Das Ungleichheitszeichen steht da aber andersrum.

Sagt dir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n \end{eqnarray*}$ etwas?

Zitat:

Original von Mompee09
und der schritt von
$\begin{eqnarray*} \frac{n * .... * (n - 2k + 1)}{2k!} = \frac{n * .... * (n - k + 1)}{k!} * \frac{(n-k)* .... * (n - 2k + 1)}{(k+1)* ... * (2k)} \end{eqnarray*}$

ist mir auch nicht so ganz klar. kann mir das vielleicht jemand kurz erklären ?

Da wurde doch einfach nur der Bruch auseinander gezogen verwirrt

09.05.2009, 12:30

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Im Zähler und Nenner von

$\begin{eqnarray*} \frac{n \cdot \ldots \cdot (n-2k+1)}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

befinden sich jeweils $\begin{eqnarray*} 2k \end{eqnarray*}$ Faktoren. Im nächsten Umformungsschritt werden die einfach nur aufgeteilt auf jeweils zweimal $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Faktoren, weiter passiert da gar nichts.

Eine Anmerkung zur Behauptung: Man kann sogar die schärfere Aussage

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2^n} \cdot \max_{k=0,\ldots,n} \binom{n}{k} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

beweisen, allerdings mit etwas mehr Aufwand.

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