Beweis det(AB^t)=0 für m>n

08.05.2009, 10:58

Svenja1986

Beweis det(AB^t)=0 für m>n

Hallo

Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in M_{m,n}(K) \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} m>n \Rightarrow det(AB^t)=0 \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Betrachten Sie den Rang der Matrix AB^t.

Ich habe das mal mit einem Beispiel ausprobiert und da ist mir aufgefallen, dass die Matrix AB^t keinen vollen Rang hat.
Mir ist aber nicht so ganz klar, warum das so ist. verwirrt

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen Augenzwinkern

08.05.2009, 12:11

Nubler

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determinantenmultipltiplikationssatz?

08.05.2009, 12:34

Reksilat

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@Nubler: Keine gute Idee, da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht quadratisch sein müssen.

@Svenja: Überlege lieber, welchen Rang die Matrix $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ haben müsste, damit die Determinante $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Habt Ihr schon ein paar weitere Eigenschaften des Matrixrangs behandelt? Auf Wiki findet man eigentlich alles, was man zur Lösung benötigt.

Gruß,
Reksilat.

08.05.2009, 15:26

Svenja1986

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Naja, damit die Determinante $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, müsste $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ vollen Rang haben.

Ja, wir haben einige Eigenschaften des Matrixrangs behandelt, auch die, die man auf Wiki findet. Aber irgendwie bringt mich das im Moment nicht weiter.

Ich verstehe einfach nicht, warum die Matrix $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ keinen vollen Rang hat. Wie kommt das zustande? Hammer

08.05.2009, 16:03

Mathespezialschüler

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Der Rang beider Matrizen ist $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ . Der Rang von $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ müsste aber $\begin{eqnarray*} =m \end{eqnarray*}$ sein. Hilft dir das weiter?

08.05.2009, 17:56

Svenja1986

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Naja, wenn der Rang der beiden Matrizen A und B jeweils $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ ist, bedeutet das ja, dass die beiden Matrizen jeweils mindestens eine Nullzeile besitzen. Somit hat auch die Matrix AB^t mindestens eine Nullzeile und der Rang ist <m. smile

09.05.2009, 02:55

Mathespezialschüler

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Das ist falsch. Es gibt beliebig große Matrizen vom Rang Eins, die keine Nullzeilen besitzen. Gehe über die Definition des Rangs.

09.05.2009, 22:39

WebFritzi

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Oder sieh ein, dass es einen nichtverschwindenden Vektor x gibt mit $\begin{eqnarray*} B^tx = 0. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dann auch $\begin{eqnarray*} AB^tx = 0. \end{eqnarray*}$

10.05.2009, 17:21

Svenja1986

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das ist falsch. Es gibt beliebig große Matrizen vom Rang Eins, die keine Nullzeilen besitzen.

Wenn doch der Rang $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ ist, dann haben diese Matrizen doch eine Nullzeile, wenn man sie auf Zeilenstufenform bringt, oder nicht?
Warum kann man das nicht als Erklärung benutzen?

Zitat:

Original von WebFritzi
Oder sieh ein, dass es einen nichtverschwindenden Vektor x gibt mit $\begin{eqnarray*} B^tx = 0. \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das genau? verwirrt

10.05.2009, 19:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von Svenja1986

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Das ist falsch. Es gibt beliebig große Matrizen vom Rang Eins, die keine Nullzeilen besitzen.

Weil hier nichts auf Zeilenstufenform zu bringen ist. Ganz einfach. Außerdem stimmt dein Statement nicht, wenn der Rang =n (also maximal) ist. MSS hat gesagt, du sollst die Definition des Rangs benutzen. Der Rang einer Matrix ist die Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung.

Zitat:

Original von Svenja1986

Zitat:

Original von WebFritzi
Oder sieh ein, dass es einen nichtverschwindenden Vektor x gibt mit $\begin{eqnarray*} B^tx = 0. \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das genau? verwirrt

A: "Es regnet."
B: "Wie meinst du das genau?"
verwirrt

11.05.2009, 17:45

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Svenja1986
Wenn doch der Rang $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ ist, dann haben diese Matrizen doch eine Nullzeile, wenn man sie auf Zeilenstufenform bringt, oder nicht?

Oben hast du aber noch nichts von Zeilenstufenform gesagt. Die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ selbst müssen nämlich keine Nullzeile besitzen. Drück dich also klarer aus und lass nicht einfach irgendwelche Schritte weg, sonst wird es falsch!

Wenn es ein $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} B^tx=0 \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} AB^tx=0 \end{eqnarray*}$ , also hat die Abbildung $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ nichttrivialen Kern. Was heißt das?

15.05.2009, 18:30

Svenja1986

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Oben hast du aber noch nichts von Zeilenstufenform gesagt. Die Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ selbst müssen nämlich keine Nullzeile besitzen. Drück dich also klarer aus und lass nicht einfach irgendwelche Schritte weg, sonst wird es falsch!

Sorry, habe ich dann auch gemerkt Ups

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wenn es ein $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} B^tx= \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} AB^tx=0 \end{eqnarray*}$ , also hat die Abbildung $\begin{eqnarray*} AB^t \end{eqnarray*}$ nichttrivialen Kern. Was heißt das?

Wenn die Abbildung AB^t einen nichttrivialen Kern besitzt, hat sie einen nichtvollen Spaltenrang.

Übrigens: Danke für eure Hilfe Augenzwinkern

15.05.2009, 18:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von Svenja1986

Zitat:

Wenn die Abbildung AB^t einen nichttrivialen Kern besitzt, hat sie einen nichtvollen Spaltenrang.

Richtig. Und damit auch eine verschwindende Determinante. Wusstest du eigentlich schon, dass Spalten- und Zeilenrang gleich sind?

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