Polarkoordinaten, Bogenlänge, rektifizierbarkeit

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Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »
Polarkoordinaten, Bogenlänge, rektifizierbarkeit
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung mit bijektiv ist.

Man spricht von "Polarkoordinaten". Ebene Kurven kann man oft auch mit Polarkoordinaten beschreiben, in der Form , mit einer Funktion und einer beliebigen Funktion . Bestimmen Sie - wenn und differenzierbar sind - die Bogenlänge einer in Polarkoordinaten gegebenen Kurve.

b) Sei und . Zeigen Sie, dass dadurch auf ein stetiger Weg mit definiert wird, der aber nicht rektifizierbar ist.

Zu a)
Wie muss ich hier vorgehen?

Leider habe ich sehr wenig ahnung was ich hier machen muss, wie zeige ich dass solch eine Abbildung bijektiv ist?

Soll ich etwa für die Injektivität die Ableitung bilden und gucken ob sie größer 0 ist?


Was mache ich dann für die Surjektivität?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, man weist einfach die Definition der Injektivität und Surjektivität nach. Im Mehrdimensionalen reichen invertierbare Ableitungen nicht aus für die Injektivität, erst recht also nicht Ableitungen ungleich Null.

Schreibe dir die Definitionen hin und versuche, dich an die Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen aus Analysis 1 und 2 zu erinnern.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also fangen wir mit der Surjektivität an:

mit

Daraus folgt:

I:
II:

Jetzt soll ich mich an Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen erinnern Augenzwinkern

Also ich würde jetzt intuitiv so vorgehen:

Aus (I) folgt:

Eingesetzt in (II) erhalten wir:



Also folgt:

Daraus sollte die Surjektivität folgen.
Ist das richtig? Da ich bisjetzt noch nicht wirklich auf die Eigenschaften von trigonometrischen Funktionen zurückgegriffen habe denke ich dass das falsch ist.

Nun kommen wir zur Injektivität:

Seien mit




Hier fehlt mir die Idee um weiter zu machen und zu zeigen dass und
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch einen Einfall zur Injektivität:




Es folgt:

Daraus sollte die Injektivität folgen
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabinee
Aus (I) folgt:

Und was ist mit ?

Zitat:
Original von Sabinee

Der Arcustangens bildet nach ab, das wird aber nicht reichen. Das solltest du beim Nachrechnen der Probe (die hier nötig ist!) auch merken.

Es geht einfacher: Wenn und gelten soll, dann folgt durch Quadrieren und Addieren beider Gleichungen , also . Daraus folgt , also existiert ein mit und .

Die Injektivität geht analog bzw. der Beweis dafür steckt hier mit drin.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm schöner Trick.

Die Injektivität sollte so gezeigt werden:

Es gilt: und .

Quadrieren und addieren auf beiden Seiten ergibt:

Wegen folgt .

So jetzt muss ich noch zeigen dass ist.

Es gilt nun: . Wegen folgt: .

Wenn das richtig ist wäre das schonmal geschafft.

Nun zur Bestimmung der Bogenlänge:

Wie gehe ich da vor?

Kann ich hier vorgehen wie sonst auch immer:

Indem ich bestimme?
Ich hätte ja jetzt keine fest vorgegebene Funktion und müsste dass dann allgemein machen oder?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabinee
Es gilt nun: . Wegen folgt: .

Nein, das ist falsch. Z.B. ist doch .

Du musst schon die beiden Gleichungen und zusammen nutzen.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt nun: und . Wegen folgt .
Danke für den Hinweis.

Kannst du mir bitte noch erläutern wie ich an die Bogenlänge komme?
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab als Bogenlänge heraus:



Kann das sein?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sabinee
Es gilt nun: und . Wegen folgt .


Kannst du das näher erläutern? So reicht das nämlich nicht.
Sabinee Auf diesen Beitrag antworten »

Jo habs jetzt endlich raussmile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann poste hier bitte deine Lösung. Das gehört hier zum guten "Ton".
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