partielle integration trigonometrische funktion

08.05.2009, 19:48

DarthVader

partielle integration trigonometrische funktion

hallo zusammen,

ich hab probleme die partielle integration anzuwenden. ich soll folgendes integral bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin^3x~dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin^2x \cdot sin x~dx \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=sin2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=-cos x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=sin x \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin^2x \cdot sin x~dx=[sin^2x \cdot (-cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin 2x \cdot (-cos x)~dx \end{eqnarray*}$

soooo jetzt weiß ich zum einen nicht ob das überhaupt richtig ist und/oder wie ich weiter vorgehen müsste....

vielen dank schon mal für die tipps und anregungen

08.05.2009, 20:30

Bjoern1982

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Vielleicht hilft da ein gutes altes Additionstheorem Augenzwinkern

08.05.2009, 21:09

DarthVader

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ok ich würde dann folgende theoreme benutzen:

$\begin{eqnarray*} sin 2x=2 \cdot sin x \cdot cos x \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} sin x \cdot cos x=\frac{1}{2} \cdot sin 2x \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} [sin^2x \cdot (-cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin 2x \cdot (-cos x)~dx=[sin^2x \cdot (-cos x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-2 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~sin x \cdot cos x \cdot (-cos x)~dx \end{eqnarray*}$

also das zweite theorem bringt mir ja dann doch nichts da ich dann ja auf das erste stoße.....ich blicks aber irgendwie immer noch nicht. da du nichts weiter erwänht hast, gehe ich davon aus, dass ich in meinem ersten post erstmal alles richtig gemacht hab. trotzdem sehe ich einfach nicht wie ich weiter vorgehen soll...

08.05.2009, 22:09

Jacques

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Hallo,

Du hast Dich bei der Ableitung von f vertan:

f(x) = sin²(x) = (sin(x))² => f'(x) = 2sin(x)cos(x)

Das richtige Integral lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) (-\cos(x)) \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -2 \sin(x)\cos(x) \cos(x)\, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Danach kann man die Substitutionsregel benutzen.

08.05.2009, 22:11

Bjoern1982

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Um sowas zu lösen musst ein bisschen kreativer werden und die einige trigonomterischen Zusammenhänge einprägen.

Wenn ich sowas sehe wie sin(2x) -----> Doppelwinkelfunktion---> Add.Theo. Idee!

Wenn ich sowas sehe wie cos(x)*cos(x) und sonst nur sin(x) ----> trig. Pythaogoras Idee!

08.05.2009, 22:37

DarthVader

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erst mal vielen dank für die hilfe.

@jaques: soweit ich weiß geht f(x)=sin^2(x) => f'(x)=sin(2x) wenn alle werte positiv sind, was ja anhand der integrationsschranken der fall ist, ich habe auch vorher mit f'(x)=2*sin(x)cos(x) probiert, komme aber generell nicht auf die lösung.

@bjoern: hab ich auch benutzt wie du gesagt hast, aber wie gesagt ich komme (noch) auf keinen grünen zweig...

ich werd jetzt gleich erst mal die decke übers gesicht ziehen und schlummern, hab das gefühl ich seh das integral vor lauter winkelfunktionen nicht =)

08.05.2009, 22:51

domelius

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RE: partielle integration trigonometrische funktion
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~sin^3x~dx=\int_{}^{}~sinx(1-cos^2x)~dx=-cos x-\int_{}^{}~sinxcos^2x~dx=\frac{1}{3} \int_{}^{}~~dcos^3x-cosx=\frac{1}{3}cos^3x-cosx+C \end{eqnarray*}$

08.05.2009, 23:30

Jacques

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Zitat:

Original von DarthVader

@jaques: soweit ich weiß geht f(x)=sin^2(x) => f'(x)=sin(2x) wenn alle werte positiv sind, was ja anhand der integrationsschranken der fall ist

Tut mir leid, daran habe ich nicht gedacht. Ups

Das gilt sogar allgemein, nicht nur bei positiven Winkeln.

Zitat:

Original von DarthVader

ich habe auch vorher mit f'(x)=2*sin(x)cos(x) probiert, komme aber generell nicht auf die lösung.

Das fehlende Integral war

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} -2 \sin(x)\cos(x) \cos(x)\, \mathrm{d}x = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(x) \left( - \sin(x) \right) \, \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

Das Integral kann man durch Substitution lösen: (cos(x))² (-sin(x)) = f(g(x))g'(x) mit f(x) = x², g(x) = cos(x)

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