Inklusionen und Identitäten in metrischen Räumen

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Inklusionen und Identitäten in metrischen Räumen
Hi, it's me again...

Jetzt muss ich wirklich mal eine gesamt Aufgabe mitteilen. Ich hab wirklich keine Schimmer:

Es sei metrischer Raum und . Man zeige die folgenden Identitäten und Inklusionen und finde in (b) und (d) je ein Beispiel, bei dem die Inklusion strikt ist.
(a)
(b)
(c)
(d)

()

soll komplett quer sein.

erstmal die Def von int(A):

Ist schlicht die Menge aller a in A die in Kugeln mit einem Radius größer Null um x liegen, welche (Kugeln) auch in a liegen. Oder?

Aber habt Ihr eine Vorstellung was das A quer in dem Zusammenhang sein soll? Durchforstete das Skript ohne Erfolg.


Grüße,

Schmouki
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

a) Es lässt sich leicht zeigen, dass

In diesem Fall ist die Menge der Häufungspunkte von .

b) Es lässt sich wiederrum leicht zeigen, dass

c) Sei

die andere Richtung geht beinahe genauso.

d) Siehe c)


ist der Abschluss von , welcher definiert werden kann als vereinigt mit seinen Häufungspunkten oder vereinigt mit seinen Randpunkten.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal noch zum Abschluss:

Definiere ich den Abschluss also korrekt, wenn ich sage:

?

Und bedeute nix anders als ?

und die Definition von int hab ich korrekt erfasst?

Zitat:
erstmal die Def von int(A): Ist schlicht die Menge aller a in A die in Kugeln mit einem Radius größer Null um x liegen, welche (Kugeln) auch in a liegen.


Grüße,

Schmouki
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

metrischer Raum,



Hab eine Kleinigkeit verbessert.

selber darf nicht in der Betrachtung der 's einbezogen werden.

Du siehst also, dass vereinigt mit seinen Häufungspunkten den Abschluss definiert.


Zitat:
Und bedeute nix anders als ?


Nein, ist die Menge der Häufungspunkte, habe ich aber schon im ersten Post erwähnt.

Zitat:
und die Definition von int hab ich korrekt erfasst


Ja, formal:



Gruß
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

okay, fürst erst.

Jetzt geht's ums zeigen

Wenn ich mir das mal Skizziert vorstelle, X Menge und A,B untermengen die sich überschneiden. Dann habe ich doch bei die Häufungspunkte um die Schnittmenge von A und B noch dabei und bei eben nicht. Dann müsste doch in mindestens ein Punkt enthalten sein, der bei nicht enthalten ist.

Aber gut: Erster Versuch: Kann ich das so machen? Bringt mir das was?



Vielleicht kann ich ja dann auf die selbe Form zurechtschrauben.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Dann habe ich doch bei die Häufungspunkte um die Schnittmenge von A und B noch dabei und bei eben nicht.

Und warum nicht?

Ich würde übrigens nicht mit den Definitionen rumrechnen, sondern nur die Eigenschaften und nutzen.
 
 
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

smile Naja,

angenommen es existieren a in A und b in B mit a=b.
Dann existiert ein b in B als Häufungspunkt zu A. Also b in acc(A) und in .
Nach Definition von acc, der Menge der Häufungspunkte, sind in acc(A\cup B) keine Elemente aus A und B zu finden. Widerspruch.

So ungefär? Lesen2

EDIT: Nochmal eine Frage am Rande: Wenn ich und habe. Dann ist doch oder nicht?
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte nicht hängen lassen. Ich muss das bis montag fertig haben und das ist aufgabe 1/4. Hilfe
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Die eine Inklusion von (a): Es gilt offenbar



Die Menge auf der rechten Seite ist abgeschlossen (denn die Vereinigung zweier abgeschlossenen Mengen ist abgeschlossen). Also folgt (siehe Post von MSS)



Die umgekehrte Inklusion ist ähnlich einfach.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
angenommen es existieren a in A und b in B mit a=b.
Dann existiert ein b in B als Häufungspunkt zu A. Also b in acc(A) und in .
Nach Definition von acc, der Menge der Häufungspunkte, sind in acc(A\cup B) keine Elemente aus A und B zu finden. Widerspruch.

Ich kann dieser Argumentation kein bisschen folgen! Ich glaube, du hast da einen großen Denkfehler. Wie der aber aussieht, ist mir gerade ein großes Rätsel.

Was ist denn deine Definition von einem Häufungspunkt? Für mich ist ein Häufungspunkt der Teilmenge eines metrischen Raums ein Punkt , für den es eine Folge von Elementen aus gibt, die gegen konvergiert. Insbesondere ist jeder Punkt selbst ein Häufungspunkt von , da die konstante Folge gegen konvergiert.

Jeder Punkt aus liegt also in , insbesondere auch jeder Punkt aus .
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher Mathespezialschüler?

Für mich ist ein Häufungspunkt nicht das, was Du beschreibst.

Zwar stimmt das, dass es eine Folge von Elementen aus geben muss, welche gegen den Häufungspunkt konvergiert, aber nur unter der Bedingung, das der Häufungspunkt selber aus der Betrachtung als Folgenglied herausfällt.

Beispiel:

Sei und

Dann ist

Insbesondere ist und daher die Inklusion trivial.

@schmouk

Mit diesen ganzen Hinweisen sollte es nun recht einfach sein, die Sache anzugehen.

b) Sei .

Es gibt eine Folge mit Folgengliedern aus welche gegen konvergiert.

schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuchen wir'S jetzt mit den Folgen.

Kapiert ist: gilt , so gilt auch , da sowieso Teilmenge von dem einen und dem anderen ist.


Jetzt zeig ich also erstmal

Indem ich x sei in annehme.
dann muss eine Folge in sein, mit .
und ist sie in A, so ist sie auch in .
Und dann ist x auch in .

Gleiche für ein x in acc(B).

Dann der nächstes Schritt

Da würde ich ähnlich rangehen: Nämlich dass ich annehme:

x in acc(A\cup B)
dann ist (c_n) Folge in (A\cup B)\setminus\{x\} mit limes x.
da A\subset A\cup B und B\subset A\cup B existiert in A oder B zumindest eine Teilfolge von (c_n) mit Limes x.
x auch in acc(A)\cup acc(B).



Hoffungslos? Forum Kloppe

b) Vielleicht besser:

z.Z.

Sei . Dann ex. Folge in mit Limes x.
Dann ist sowohl in A als auch in B.
Dann ist x\in acc(A) und und somit in .

Also und

hm? Hoffnungslos??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

@schmouk: Deine Beweisführung ist ok. Nur hast du im Beweis für (a) das Inklusionszeichen vertauscht.


Zitat:
Original von Romaxx
Sicher Mathespezialschüler?

Für mich ist ein Häufungspunkt nicht das, was Du beschreibst.

Zwar stimmt das, dass es eine Folge von Elementen aus geben muss, welche gegen den Häufungspunkt konvergiert, aber nur unter der Bedingung, das der Häufungspunkt selber aus der Betrachtung als Folgenglied herausfällt.


Das ist nicht richtig. Die Definition von MSS ist schon in Ordnung so. Den gleichen Fehler hast du in deinem zweiten Beitrag schonmal gemacht und schmouk so eine Falschinformation gegeben. Die war hier allerdings nicht so schwerwiegend.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Romaxx
Sicher Mathespezialschüler?

Für mich ist ein Häufungspunkt nicht das, was Du beschreibst.

Zwar stimmt das, dass es eine Folge von Elementen aus geben muss, welche gegen den Häufungspunkt konvergiert, aber nur unter der Bedingung, das der Häufungspunkt selber aus der Betrachtung als Folgenglied herausfällt.


Das ist nicht richtig. Die Definition von MSS ist schon in Ordnung so. Den gleichen Fehler hast du in deinem zweiten Beitrag schonmal gemacht und schmouk so eine Falschinformation gegeben. Die war hier allerdings nicht so schwerwiegend.


Ich muss mich hier korrigieren. Romaxx hatte doch recht - jedenfalls nach Wikipedia-Definition. Eine Einpunktmenge in IR beispielsweise besitzt also keinen Häufungspunkt. Ich sehe gerade, dass "Königsberger, Analysis I" die gleiche Definition liefert.

@schmouk: Vergiss also die Menge acc(C) aller Häufungspunkte einer Menge C. Das steht hier nicht zur Debatte. Wenn du in deinem Beweis das acc(C) durch den Abschluss von C ersetzt und auch zulässt, dass die Folgenglieder mit x identisch sein können, kannst du deine Argumentation so übernehmen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ja da gibt es wohl unterschiedliche Definitionen. Das, was ich oben beschrieben habe, wird i.A. wohl Berührpunkt genannt. Man ersetze also Häufungspunkt oben durch Berührpunkt, dann sollte es passen.

Das ist aber letztendlich auch nicht so wichtig. Wichtig ist: ist die Menge aller Punkte , für die eine Folge von Elementen aus existiert, die gegen konvergiert.

Ob man diese Punkte nun Häufungs- oder Berührpunkte nennt, ist nicht so wichtig. Wichtiger ist diese Charakterisierung, unabhängig von diesen Begriffen.
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