simultan diagonalisierbar

09.05.2009, 13:13

LadyEnyce

simultan diagonalisierbar

Hallo ihr Lieben,

ich hab mal wieder das Problem, dass ich bei einer Aufgabe nur Bahnhof verstehe, ich es aber gern selber hinbekommen möchte.

also erstmal die Aufgabe:

Wir sollen zeigen, dass die beiden folgenden quadratischen Formen nicht simultan diagonalisierbar sind.

$\begin{eqnarray*} \gamma _1 : \mathbb R ^2 \Rightarrow \mathbb R , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -> x_1*x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma _2 : \mathbb R ^2 \Rightarrow \mathbb R , \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} -> (x_1)^2 - (x_2)^2 \end{eqnarray*}$

ok als allererstes hab ich mir angeschaut, was simultan diag eig heisst und bin auf folgendes gekommen, was ich auch verstanden hab:

Es existiert eine Matrix S, so dass S^(-1)*A*S und S^(-1)*B*S Diagonalgestalt haben. ausserdem weiss ich dass diag-Matrizen kommutieren, d.h. A*B=B*A

mein Problem ist jetzt,dass ich nicht weiss wie ich aus den beiden Abbildungen die dazugehörigen Matrizen rauslesen kann ich weiss ich sollte es eigentlich können aber kann mir das viell jemand erklären? ich wäre euch sehr sehr dankbar, denn ich will es wirklich endlich verstehen.

09.05.2009, 14:22

LadyEnyce

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RE: simultan diagonalisierbar
Ich hab mich weiter informiert über Darstellungsmatrizen und komm nun auf folgendes: Sei A eine Basis des R^2 mit
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und B eine Basis von R mit B={(1)}

dann ist $\begin{eqnarray*} \gamma _1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \gamma _1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} M(\gamma _1) ={(O}) \end{eqnarray*}$

ausserdem ist $\begin{eqnarray*} \gamma _2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \gamma _2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =1 \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} M(\gamma _2) ={(1}) \end{eqnarray*}$

stimmt das? und geh ich richtig in der Annahme dass die beiden M jetzt meine A und B für die Formel für simultane diag sind?

09.05.2009, 15:24

LadyEnyce

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RE: simultan diagonalisierbar
HILFE bitte

09.05.2009, 16:13

Romaxx

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Ich finde die Aufgabe etwas komisch, denn um allgemein Diagonalisierbarkeit ( sei es simultan oder normal) zu überprüfen, müssen Endomorphismen vorliegen, was nicht der Fall ist.

Oder irre ich mich da?

Lautet die Aufgabenstellung wirklich so?

Gruß

09.05.2009, 16:22

LadyEnyce

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ja die aufgabe lautet genau so wie ich sie reingestellt hab.
kannst du mir denn irgendwie weiter helfen?

09.05.2009, 18:57

Mathespezialschüler

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Man kann auch Bilinearformen (simultan) diagonalisieren.

Zitat:

Original von LadyEnyce
Es existiert eine Matrix S, so dass S^(-1)*A*S und S^(-1)*B*S Diagonalgestalt haben. ausserdem weiss ich dass diag-Matrizen kommutieren, d.h. A*B=B*A

Das ist der falsche Diagonalisierbarkeitsbegriff.

Zu einer quadratischen Form gehört eine symmetrische Bilinearform $\begin{eqnarray*} \beta:\mathbb R^2\times\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Bezüglich einer vorgegebenen Basis besitzt diese eine Gramsche Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Führt man einen Basiswechsel mit der Basistransformationsmatrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ durch, so ist die Gramsche Matrix bzgl. der neuen Basis gegeben durch $\begin{eqnarray*} T^tAT \end{eqnarray*}$ und nicht durch $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT \end{eqnarray*}$ .

Diagonalisieren bedeutet also, eine Matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass $\begin{eqnarray*} T^tAT \end{eqnarray*}$ Diagonalgestalt hat, d.h. Diagonalisieren bedeutet, eine Orthogonalbasis bzgl. der Bilinearform zu finden.

10.05.2009, 13:23

LadyEnyce

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ok, danke das hab ich jetzt bei mir im skript auch so wieder gefunden.
das is mir auch klar was das heisst,aber mein Problem is immernoch wie ich auf eine Matrix komme mithilfe meiner zwei abbildung?

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simultan diagonalisierbar

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