einschaliger Hyperboloid

09.05.2009, 17:07

Natalie1988

einschaliger Hyperboloid

Hallo!

So... komme bei einer Aufgabe gar nicht mehr weiter.

Nun, ich habe eine Gerade g gegeben mit

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich zeigen, dass, wenn man g um die x3-Achse rotieren lässt, dies den einschaligen Hyperboloid (x1)^2 + (x2)^2 + (x3)^2 = 1 erzeugt.

Mein Problem fängt schon damit an, da ich nicht genau weiß, wie man die Rotation erzeugt. Wie lasse ich eine Gerade um die x3-Achse rotieren? Hab da schon was mit den trigonometrischen Funktionen gefunden, aber kam nicht weiter.

Danke schon mal

09.05.2009, 20:42

Raumpfleger

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RE: einschaliger Hyperboloid

Zitat:

Original von Natalie1988
Nun soll ich zeigen, dass, wenn man g um die x3-Achse rotieren lässt, dies den einschaligen Hyperboloid (x1)^2 + (x2)^2 + (x3)^2 = 1 erzeugt.

Das ist jedoch die Bestimmungsgleichung der guten alten Kugeloberfläche mit Radius 1.

Zitat:

Mein Problem fängt schon damit an, da ich nicht genau weiß, wie man die Rotation erzeugt.

Die Drehung findet um die x3-Achse statt mit der Drehmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\vartheta & 0 \\ \sin\vartheta & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , jeder Punkt der Geraden wird transformiert. Für den Beweis ist das nicht sinnvoll, man sollte umgekehrt zeigen, dass in dem einschaligen Hyperboloid zunächst mal eine Gerade enthalten ist, z.B. die gegebene und dass diese Eigenschaft unter Rotation um die x3-Achse invariant ist. Dazu - Rückkehr zum Ausgangspunkt, müsstest Du die richtige Gleichung für das Hyperboloid haben.

Das Bildchen wurde mit Mma und
RevolutionPlot3D[{1, t, t}, {t, -1/2, 1}]
erzeugt, der Witz ist, dass die Gerade nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.

10.05.2009, 12:02

Natalie1988

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Hab grad gesehen, dass ich mich leider verschrieben hab.

Die Gleichung des Hyperboloids ist

(x1)^2 + (x2)^2 - (x3)^2 = 1

Nun... ich blicks noch immer nicht... Wie zeige ich das jetzt? Bitte noch genauer

10.05.2009, 12:15

Raumpfleger

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RE: einschaliger Hyperboloid
Sorry, die Drehmatrix um die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Achse hat natürlich nur einen Drehwinkel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & \cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Um der Aufgabe näherzukommen, kannst Du Dir auch überlegen, dass bei der Rotation um die $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse ein Zylinder herauskommt, wenn die Gerade senkrecht auf der $\begin{eqnarray*} x_1 \oplus x_2 \end{eqnarray*}$ -Ebene steht und nicht durch den Ursprung des Koordinatensystems (KS) geht.

Der Effekt mit dem einschaligen Hyperboloid kommt zustande, weil es (ausser dem Punkt (1, 0, 0)) auf der gegebenen Gerade jeweils genau 2 Punkte gibt, die denselben Abstand von der $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ -Achse haben und dieser Abstand vom Punkt (1, 0, 0) in beide Richtungen auf der Geraden monoton wächst und die Gerade nicht durch den Ursprung des KS geht.

So, um es jetzt zu zeigen, schreibt man die Gerade etwas schöner
$\begin{eqnarray*} \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und das eingesetzt in die Hyperboloidgleichung gibt $\begin{eqnarray*} x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 = 1 + t^2 - t^2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also erfüllt. Die gegebene Gerade ist also im Hyperboloid enthalten, wie es auch die Zeichnung zeigt. Jetzt musst Du nur noch mit der Drehmatrix zeigen, dass auch alle gedrehten Geraden im Hyperboloid enthalten sind.

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