Würfel mit asymmetrischem Schwerpunkt

09.05.2009, 18:03

Mathe_2010?

Würfel mit asymmetrischem Schwerpunkt

Mal eine Frage aus Neugier:

Wenn ich genügend physikalische Informationen über einen Würfel habe, wie kann ich dann die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse berechnen?

Beispiel: Ein Würfel hat alle Eigenschaften eines idealen Würfels, mit der Ausnahme, dass eine Hälfte des Würfels doppelt so schwer ist, wie die andere. Nehmen wir einfach an, dass wenn die schwere Hälfte unten ist, der Würfel eine 6 anzeigt.

Letztere Annahme ist eigentlich egal, da mich nur interessiert, ob und wie man das Problem theoretisch lösen kann.

10.05.2009, 22:49

frank09

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Eigentlich ein physikalisches Problem: Nimm an, der Würfel rollt nur über die Kanten. Dann kann man vergleichen wieviel Energie/Arbeit es braucht, den Würfel über die Kante aufzurichten. Liegt die schwere Seite unten, braucht es mehr Energie, ihn auf die Kante zu stellen, so dass er von alleine auf die nächste Seite fallen kann. Die WK, dass die restliche Bewegungsernergie, die sich durch Reibung/Luftwiderstand beim Rollen kontinuierllich abbaut, für den nächsten "Überschlag" nicht mehr reicht, nimmt mit dem nötigen Aufwand dafür zu. Somit auch die WK auf dieser Seite liegenzubleiben.

Ich kann dir auch eine Formel geben, das für deinen Fall auszurechnen, wenn du nicht selbst draufkommst.

11.05.2009, 17:32

Mathe_2010?

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Ja, das lässt sich wohl mit physikalischen Mitteln grob annähern. Man müsste dann wahrscheinlich den von dir vorgeschlagenen Energieansatz für alle 8 Kanten ausrechenen (wobei 4 gleich sind), und dann eine durchschnittlich durch die Wurfbewegung zugeführte Energie ermitteln etc. was natürlich alles sehr vereinfacht ist.

Da geht 1000 mal würfeln bestimmt schneller Big Laugh

Oh, die Formel von der du redest kannst du ja mal posten. Etwas Physik schadet ja nicht Freude

12.05.2009, 00:36

frank09

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Sei das Gewicht des Würfels 1 (Newton), $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die Abstände des Schwerpunkts von den Seiten (s. Skizze), $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ (im Bogenmaß) der "Aufstellwinkel". Es gilt $\begin{eqnarray*} tan x_1 =\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ sei die "Aufstellarbeit", dann gilt:

$\begin{eqnarray*} W=\int_{0}^{x_1}~(a-b\cdot tanx)~dx \end{eqnarray*}$
[attach]10499[/attach]
Wenn die untere Hälfte doppelt so schwer wie die obere ist und der Würfel eine Kantenlänge von 1 hat, wäre $\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\frac{5}{12} \end{eqnarray*}$ . Man kann sehen: je höher S liegt, desto größer ist b und kleiner der Aufstellwinkel /- arbeit.

12.05.2009, 18:49

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Wenn man's schon physikalisch betrachtet, dann doch eher dreidimensional. Dann wird der Würfel in der Regel zuerst mit einer der 8 Ecken (und nicht einer der 12 (!) Kanten) auf den Boden auftreffen.

Aber auch das ist noch nicht der physikalischen Weisheit letzter Schluss: Die Berechnung der letztendlich gezeigten Seite anhand der Schwerpunktlage stimmt nur, wenn der Würfel im Moment des Auftreffens auf dem Boden keinerlei Drehmoment mehr hat - sehr untypisch, wenn man mal an den üblichen praktischen Ablauf eines Würfelwurfs denkt...

Insgesamt wird es, wenn man es einigermaßen wirklichkeitsgetreu physikalisch bestimmen will, eine wüste Rechnerei, vielleicht sogar abhängig vom Wurfverhalten? verwirrt

Auf alle Fälle kann man ja auch das versuchen:

Zitat:

Original von Mathe_2010?
Da geht 1000 mal würfeln bestimmt schneller Big Laugh

13.05.2009, 15:38

frank09

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Ich hab mal die durchschnittliche (Kanten-)Aufstellarbeit für jede Seite ausgerechnet. Wenn man davon ausgeht, dass die WK, darauf liegenzubleiben dazu proportional ist, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} p_1 = 0,1896 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} p_5 = 0,1662 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_6 = 0,1456 \end{eqnarray*}$

D.h. von 600 Würfen würde man ca. 113x die "6" werfen, die "1" ca. 87x und
alle anderen fast wie bei einem normalen Würfel ca. 100 x.

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