Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß |
09.05.2009, 18:40 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß ich sitze gerade an dem Beweis zur Kohärenz des Expected Shortfalls. Definiert haben wir den Expected Shortfall als , wobei das kleinste Quantil bezeichnet. ist als ein Portfolio zu verstehen. Nun, nach den Axiomen für kohärente Risikomaße (nach Artzner) muss für Translationsinvarianz folgendes gelten (die anderen 3 Axiome habe ich schon bewiesen, nur bei dem hab ich irgendwie probleme): Für alle und beschränkte Zufallsvariablen gilt Ich schreib mal auf was ich bis jetzt habe: Es gilt die äquivalente Charakterisierung des Expected Shortfalls: Also folgt nun: Weiter: Aber irgendwie komm ich jetzt nicht weiter, könnt ihr mir helfen? Gruß |
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11.05.2009, 20:59 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Beweis : Expected Shortfall ist kohärentes Risikomaß
Warum Artzner et al. diese Eigenschaft unbedingt "Translationsinvarianz" nennen mussten war mir schon immer ein Rätsel. Zur Sache: Ich bin ein wenig irritiert, denn für fixiertes haben wir und damit was aber nicht korrekt sein dürfte. Wo habe ich mich also vertan? Edit: Kann es sein, dass deine Definition vom Expected Shortfall einen Vorzeichenfehler hat, also dass es nicht eher heißen sollte? |
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12.05.2009, 11:14 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hey oh mann, jetzt sehe ich meinen Fehler: Natürlich muss gelten. Ok neuer Versuch: Ist das soweit ok? wie krieg ich jetzt das blöde a raus? gruß |
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12.05.2009, 19:47 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das stimmt so nicht. Für ein kohärentes Risikomaß gilt . Schau lieber nach der Definition des Expected Shortfalls. |
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12.05.2009, 21:03 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm echt komisch. also ich hab die ganzen infos aus einem paper. und da steht drin: Ein Risikomaß heisst monoton: translationsinvariant: sowie Ein Risikomaß heisst kohärent, wenn es monoton, translationsinvariant, positiv homogen und subadditiv ist. Und der Expected Shortfall ist wirklich so definiert, wie ich es im 1.Post geschrieben habe. |
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13.05.2009, 09:05 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist ökonomischer Blödsinn, denn damit folgte insbesondere . Die Eigenschaft der Translationsinvarianz besagt doch aber grade, dass es gleichwertig ist, einen Kapitalbetrag a>0 auf einem unverzinsten (bei euch wird kein Zins berücksichtigt) Marginkonto zu hinterlegen um den Kapitalbedarf der riskanten Position X auf zu reduzieren, oder a festverzinslich zum Zinssatz r (bei euch r=0) anzulegen und den Kapitalbedarf der Auszahlung zu berechnen. Zwangsläufig muss also gelten. Irgendwas ist mit deinen Aufzeichnungen wohl nicht in Ordnung. |
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13.05.2009, 09:27 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hey, hm ich seh gerade nicht, was sich ändern sollte, wenn der Expected Shortfall als definiert wäre? |
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13.05.2009, 09:42 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann das evtl etwas damit zu tun haben, dass in meinem Paper Portfolios durch ihre Verlustfunktion repräsentiert werden, aber bei Artzner et al. ja durch Wertefunktionen? gruß |
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13.05.2009, 10:15 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Poste mal die zugrundeliegende Definition eines Risikomaßes. Evtl. auch die Erklärung, was die Zufallsvariable X repräsentiert.
Dann folgte aus , dass , also das Gewünschte. |
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13.05.2009, 12:31 | r4nt4npl4n | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also grundsätzlich geht es in dem Paper um Kapitalallokation. ist dabei ein Portfolio, welches aus Teilportfolios besteht. wird wie gesagt mit ihrer Verlustfunktion identifiziert. spezifiert also den Verust von zu einem zukünftigen Zeitpunkt im Zustand . Es wird noch eine Kapitalallokation definiert, aber das tut hier glaub ich nichts zur Sache: heisst Kapitalallokation bezgl wenn es erfüllt, d.h. das zu allozierte Kapital ist das Risikokapital von . Und dann sagt er halt:Ein Risikomaß heisst monoton: translationsinvariant: positiv homogen: subadditiv: Wenn alle vier Bedingungen erfüllt sind, heisst das Risikomaß kohärent. ( ist sozusagen der Raum aller Portfolios). |
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13.05.2009, 12:33 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na wie auch immer ... ich habe dir bereits gezeigt, wie man die so definierte Translationsinvarianz des gegebenen Expected Shortfalls beweist. |
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