euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.

10.05.2009, 13:18

congo.hoango

euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.

Es sei V ein euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} U^\perp=\{v\in V| \forall u \in U: <v,u>=0\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V ist. Zeigen Sie weiterhin $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp=U,dimU^\perp=n-dimU \end{eqnarray*}$ und dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ eindeutig in der Form $\begin{eqnarray*} v=u+u' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u' \in U^\perp \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, falls $\begin{eqnarray*} dimV=n<\infty \end{eqnarray*}$ .

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Hier mal ein Ausschnitt aus meinem Script:

Ist V ein n-dimensionaler
euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V , dann heißt

$\begin{eqnarray*} U^\perp=\{v\in V| \forall u \in U: <v,u>=0\} \end{eqnarray*}$

orthogonales Komplement von U.

Bemerkung:

1. $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraum von V .
...

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Kann ich damit zum ersten Teil der Aufgabe argumentieren, obwohl V nicht endlich dimensional definiert ist? Wenn nein, wie ist denn dann der Ansatz?

Gruß vom
congo

10.05.2009, 22:18

Reksilat

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RE: euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.
Hallo congo.hoango,

Also für den Beweis ist es nicht von Bedeutung, ob man endlich- oder unendlichdimensionale Vektorräume betrachtet. Wenn Ihr den endlichdimensionalen Fall schon bewiesen habt, dann funktioniert der Beweis hier analog - wenn Ihr das noch nicht bewiesen habt, dann ist es auch nicht sinnvoll aus dem Skript zu zitieren.

Irgendwann sollte man eben den Beweis dazu mal machen; für Ansätze empfehle ich zuallererst die Boardsuche, da so was häufiger auftaucht.
Zum Beispiel hier

Gruß,
Reksilat.

10.05.2009, 23:29

WebFritzi

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RE: euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.

Zitat:

Original von Reksilat
Also für den Beweis ist es nicht von Bedeutung, ob man endlich- oder unendlichdimensionale Vektorräume betrachtet.

Es kommt drauf an, den Beweis welcher Aussage du meinst. Die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist, ist trivial - auch im Unendlichdimensionalen. Allerdings stimmt die Aussage $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp = U \end{eqnarray*}$ im Unendlichdimensionalen nicht mehr. Ich gehe aber davon aus, dass ein euklidischer Vektorraum sowieso als endlichdimensional definiert ist. Schau dazu mal in dein Skript, congo.hoango.

Im Unendlichdimensionalen kann viel schiefgehen. Hier ist die Topologie entscheidend (die hier durch das Skalarprodukt definiert wäre). Zum Beispiel ist ein Unterraum nicht mehr notwendigerweise abgeschlossen. Desweiteren kann der zugrundeliegende Raum auch unvollständig sein (und somit kein Hilbert- sondern nur ein Prä-Hilbertraum).

10.05.2009, 23:52

Reksilat

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RE: euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.
Hi WebFritzi,

In der Aufgabenstellung wird klar unterschieden, dass die erste Aussage für beliebige Dimensionen und die weiteren Aussagen für endlichdimensionale Vektorräume zu zeigen sind.
Für mich sieht es auch nicht so aus, als hätte congo.hoango mit der Interpretation der Aufgabenstellung Probleme gehabt.

Gruß,
Reksilat.

11.05.2009, 00:13

WebFritzi

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RE: euklidischer Vektorraum, zeigen dass U Unterraum ist, etc.

Zitat:

Original von Reksilat
In der Aufgabenstellung wird klar unterschieden, dass die erste Aussage für beliebige Dimensionen und die weiteren Aussagen für endlichdimensionale Vektorräume zu zeigen sind.

Das sieht für mich nicht so aus:

Zitat:

Original von congo.hoango
Es sei V ein euklidischer Vektorraum und U ein Unterraum von V. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} U^\perp=\{v\in V| \forall u \in U: <v,u>=0\} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von V ist. Zeigen Sie weiterhin $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp=U \end{eqnarray*}$ [...]

Da steht nichts von endlicher Dimension.

EDIT: Klaro soll es wohl so gemeint sein. Alleine schon das (nicht erklärte) n in der zu beweisenden Dimensionsgleichung suggeriert das. Trotzdem ist die Aufgabenstellung so, wie sie da steht, Murks.

11.05.2009, 07:22

congo.hoango

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Erzähl das mal meinem Prof smile

Aber habs eigentlich mit den Dimensionen auch alles so verstanden wie Reksilat...Naja, ich berichte mal, wenn die Hausaufgabe zurück kommt.

Gruß
congo

11.05.2009, 17:50

Mathespezialschüler

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@Webfritzi

Zitat:

Original von congo.hoango
[...] Zeigen Sie weiterhin $\begin{eqnarray*} (U^\perp)^\perp=U,dimU^\perp=n-dimU \end{eqnarray*}$ und dass sich jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ eindeutig in der Form $\begin{eqnarray*} v=u+u' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u' \in U^\perp \end{eqnarray*}$ schreiben lässt, falls $\begin{eqnarray*} dimV=n<\infty \end{eqnarray*}$ .

Da steht doch im Nebensatz dieses Satzes eindeutig "falls $\begin{eqnarray*} \dim V=n<\infty \end{eqnarray*}$ ".

13.05.2009, 18:11

WebFritzi

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OK. Soweit hatte ich einfach nicht gelesen. So ist es zwar korrekt (also kein Murks!), aber trotzdem nicht gut, denn das dim < oo gehört IMHO der Verständlichkeit und der guten Leserlichkeit halber an den Anfang des Satzes.

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