Verständnisfrage zur Abgeschlossenheit

10.05.2009, 17:29

DasTinchen

Verständnisfrage zur Abgeschlossenheit

Hi!

hab nur mal eine kurze verständnisfrage... wahrscheinlich ist es mal wieder super einfach aber irgendwie steig ich nicht dahinter.

sooo...

Definition: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus A \end{eqnarray*}$ offen ist, heisst abgeschlossen.

... also prinzipiell hab ich mit dieser definition kein problem... aber woran genau sehe ich denn dann in der praxis ob die teilmenge abgeschlossen ist bzw. nicht?

wir hatten noch 3 beispiele:

i) $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

... das kann ich mir ja noch erklären...

ii) $\begin{eqnarray*} \mathbb N \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen.

.... auch das bekomm ich noch zusammen...

iii) $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist weder offen noch abgeschlossen.

.... und warum???? ...

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ setzt sich doch theoretisch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zusammen. beides sind offene Mengen,...

verwirrt

ich wäre euch echt dankbar wenn ihr da licht ins dunkel bringen könntet.

lg
tinchen

10.05.2009, 18:06

tmo

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RE: Verständnisfrage zur Abgeschlossenheit

Zitat:

Original von DasTinchen

iii) $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist weder offen noch abgeschlossen.

.... und warum???? ...

Weil Q dicht in R liegt, d.h. in jeder Umgebung von einer reellen Zahl liegt eine rationale.

D.h $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ kann nicht offen sein. Und aus genau demselben Grund Q selbst auch nicht.

Zitat:

Original von DasTinchen
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ setzt sich doch theoretisch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zusammen. beides sind offene Mengen,...

Wie kommst du darauf??

14.05.2009, 19:59

Elvis

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@DasTinchen
Unter (ii) hast du noch behauptet, die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei dir klar ( wieso denn ? verwirrt

).
Und dann kommst du mit einem solchen Unsinn, $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ setzt sich zusammen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Was soll das denn heißen, und wenn es irgendwas bedeutet, was hat das denn mit der analytischen Topologie zu tun ? verwirrt

Und dann soll $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ plötzlich offen sein . Das paßt doch gar nicht zu (ii) !
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