Abstand der Geraden vom Ursprung |
| 10.05.2009, 17:56 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abstand der Geraden vom Ursprung
Es gibt ein Problem. Ich verstehe leider nicht, wie man den Abstand einer Geraden vom Ursprung (des Koordinatensystems) berechnen soll. Natürlich könnte man das mit Hilfe von Vektoren berechnen, aber auch - und das ist jetzt mein Problem - mit den Mitteln der Analysis. Soweit ich weiß, muss man ja den Punkt der Geraden (die in der Form y=mx+b gegeben ist) finden, der den geringsten Abstand zum Ursprung hat. Um also das Minimum zu bestimmen, benötige ich ja aber ein Funktion! Wie soll das bloß funktionieren? 
Kann mir hier jemand helfen? Das wäre unglaublich toll!Vielen Dank! |
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| 10.05.2009, 18:01 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abstand der Geraden vom Ursprung Wie ist denn der Abstand definiert? Wenn du eine Gerade hast, dann reicht, wenn du eine Normale zu dieser Geraden suchst, die durch den Ursprung geht. Normale und Gerade schneiden sich dann also und du bestimmst den Abstand dieses Schnittpunkts zum Ursprung. Hast du eine konkrete Geradengleichung? |
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| 10.05.2009, 18:12 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank erstmal für die schnelle Anwort! Ja, das mit der Normale habe ich verstanden, aber für meine Prüfung nächste Woche muss ich das auch auf analytischem Wege schaffen. Wie der Abstand definiert ist? Wie meinst du das? Eine konkrete Geradengleichung wäre vielleicht y= 3x-5... |
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| 10.05.2009, 18:21 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zum Abstand: Wenn man nach dem Abstand einer Geraden vom Ursprung fragt, dann ist damit immer die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen Gerade und Ursprung gemeint. Das war nur die Frage. Wir brauchen also eine Senkrechte zur Geraden. Dies ist ja gerade die Normale. Nun haben wir ja ein konkretes Beispiel: könntest du eine Gleichung der Normalen zur gegebenen Geraden aufstellen, die durch (0,0) geht? |
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| 10.05.2009, 18:39 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das will irgendwie nicht klappen.
Ich meine aber mal gehört zu haben, dass man dafür den Satz des Pythagoras anwenden soll. Kann das sein oder ist das völlig falsch? |
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| 10.05.2009, 18:50 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das machen wir auch noch: Nur mal als Hinweis: der Anstieg der Normalen ist gegeben durch wobei m der Anstieg deiner Geraden ist. Kannst du nun die Gleichung der Normalen aufstellen? |
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| 10.05.2009, 19:08 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohje, das ist ja irgendwie logisch... 
Okay, mein Versuch: -(1/3)x Alleine schaff ich es aber immer noch nicht weiter... 
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| 10.05.2009, 19:13 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, oder muss man jetzt beide Gleichungen gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu erhalten? Das wäre dann (1,5 / -0,5). |
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| 10.05.2009, 19:16 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreibe bitte auch eine Gleichung hin, also y=... Und ja, gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu bestimmen. Der ist auch korrekt. Ich habe mal ein Bild angehängt, bei dem in blau deine gegebene Gerade und in rot die Normale eingezeichnet ist. Jetzt Satz des Pythagoras. Du kannst dir nun ein rechtwinkliges Dreieck denken. Weißt du wie es weiter geht? |
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| 10.05.2009, 19:30 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Voilà! Hier habe ich doch jetzt die "Hypotenuse", also quasi die Länge der Normalen bestimmt, oder? 1,5^2 + (-0,5)^2 = 2,5 -> 1,58 Aber ich war mir doch so sicher, dass ich irgendwann das Minimum ausrechnen muss...
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| 10.05.2009, 19:34 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das stimmt so. Nicht schön aufgeschrieben, aber es passt ja. Man kann das ganze natürlich auch als Extremwertaufgabe behandeln, wenn man denn unbedingt möchte. Weil du so explizit nach dem Minimum fragst... |
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| 10.05.2009, 19:44 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann ich ja gar nicht glauben, dass das schon alles war...im Nachhinein sehr einfach...dankeschön! Mich würde schon interessieren, wie man das als Extremwertaufgabe löst. 
Hättest du da noch einen Tipp, wie man auf die Funktionsgleichung kommt? |
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| 10.05.2009, 19:48 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stelle dir doch einfach die Frage, was du minimieren willst. Richtig, den Abstand. Also sei a die Zielfunktion. Wir haben zwei Punkte gegeben: und . Der Abstand zweier Punkte bestimmt sich nach dem Pythagoras ja allgemein durch welche Gleichung? Dann hast du schon deine Zielfunktion. |
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| 10.05.2009, 20:13 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, gut, Formel ist bekannt. (Ich entschuldige mich schon einmal im Vorraus wegen der Schreibweise) a= "Wurzel aus" (u - 0) + (f(u) - 0) = ??? u ist doch x, also kann ich doch einfach schreiben: a= "Wurzel aus" (5/3) - 0 = 1,29 hmm...aber dann habe ich ja keine Variable mehr... 
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| 10.05.2009, 20:24 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist ja so auch nicht richtig. Es muss heißen Und schon hast du deine Variable. Jetzt kannst du das Minimum bestimmen und anschließend die minimale Länge. Bedenke, dass du die Wurzel beim Ableiten vernachlässigen darfst, weil minimal wird, wenn minimal wird. Den Abstand bekommst du dann wieder über a(u). |
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| 10.05.2009, 20:47 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Minimum liegt ja bei (1,25 / 2,5). Wenn ich allerdings dann nochmal die Formel benutze, erhalte ich zum Schluss 1, 93 als Abstand, was leider, leider nicht mit dem Ergebnis aus dem anderen Verfahren übereinstimmt. Schade... Aber trotzdem vielen Dank für die Hilfe, das ist wirklich sehr nett! 
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| 11.05.2009, 06:56 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das stimmt ja schon nicht. Die erste Ableitung der Zielfunktion ist doch gegeben durch . Wenn du das jetzt Null setzt und nach u umstellst, bekommst du u=1,5. |
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| 11.05.2009, 08:27 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tatsache, ein Tippfehler! Wollte eigentlich die Zielfunktion in den GTR eingeben, um dort dann das Minimum zu berechnen. Der y-Wert zeigt dann ja das Ergebnis für den Abstand an. Soweit so gut. Ich habs jetzt endlich verstanden. Danke. Es ist bloß merkwürdig, dass das Ergebnis von 1,5 nicht genau (also 1,58...) ist. Wie kommt das? Ich runde ja nicht auf oder ab. |
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| 11.05.2009, 08:46 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Wert, den du im Taschenrechner als Extremstelle bekommst ist u=1,5. Das ist nicht dein Abstand, sondern die Stelle, bei welcher der Abstand extremal wird. Erinnere dich mal an den Schnittpunkt der Geraden mit der Normalen. Da war ja auch was mit 1,5. Den Abstand bekommst du tatäschlich erst, wenn du die 1,5 in die Zielfunktion einsetzt - die mit der Wurzel! Dort kommt dann auch der exakte Abstand raus. |
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| 11.05.2009, 09:01 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extremstelle im GTR: x=1,5 und y=1,5811 Wenn ich jetzt also für x 1,5 in die Zielfunktion einsetze, erhalte ich ja den y-Wert (1,588..). Dachte ich zumindest immer. Käme dann ja aufs Gleiche raus. |
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| 11.05.2009, 09:05 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann stimmt es doch. Es kommt halt drauf an, ob du die Wurzel mit eingegeben hast. Wenn ja, dann erhälst du automatisch mit dem y-Wert auch die Länge. |
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| 11.05.2009, 09:19 | Anouk123 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Dann kann die Prüfung ja kommen... und nochmal danke! |
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| 11.05.2009, 09:28 | vektorraum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kein Problem und viel Glück! |
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