Taylorreihe bestimmen

11.05.2009, 09:00

Sandara

Taylorreihe bestimmen

Guten Morgen Wink

ich hab eine Frage, weil ich mir doch sehr unsicher bin.

Wir haben $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ gegeben.

Gefordert wird von uns, das Taylorolynom $\begin{eqnarray*} T_4 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Rein theroretisch müsste ich ja dann 4 mal ableiten und für den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ die Werte bestimmen.

Meine Ableitungen sind mein Problem. Sie lauten:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x \cdot cos(x) + e^x \cdot (-sin(x))= e^x \cdot (cos(x) - sin(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^x \cdot(cos(x) - sin(x)) + e^x \cdot (sin(x) - cos(x)) \end{eqnarray*}$

Ich habe dazu die Produktregel benutzt, in der Hoffnung, dass das geht.

Weiter hab ich nicht mehr gemacht, weil die KLammer = 0 wird. UNd das ist erstmal überraschend. Und da es aber kaum solcher Überraschungen gibt, bin ich mir nicht sicher, ob meine Ableitung schief gegangen ist?

Bzw. wenn das stimmt, was ich gerechnet habe, was dann? Das sagt mir dann wohl, dass es kein Taylorpolynom dafür gäbe?

In der Theorie sieht das alles recht einfach aus unglücklich

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Viele GRüße
Sandra

Nachtrag : Kann es sein, weil ich es grad probier, dass man in der obrigen Gleichung besser die Kettenregel benutzt? Dann hätte ich als $\begin{eqnarray*} f'(x) = e1x \cdot cos(x) \cdot(-sin (x)) \end{eqnarray*}$ und das wäre doch das gleiche wie $\begin{eqnarray*} f'(x) = e^x(\frac{1}{2} \cdot(sin(0) + sin(2x)) = e^x \cdot(sin(2x)) \end{eqnarray*}$

Darf man das? Oder müssen zum Ersetzen mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(sin(x) + sin(y)) \end{eqnarray*}$ die Werte für x und y verschieden sein?

11.05.2009, 09:08

Rare676

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bei der 2. Ableitung nach dem "+" den Kosinus falsch abgeleitet Augenzwinkern

11.05.2009, 09:16

Sandara

Auf diesen Beitrag antworten »

Ääh, ooh, *g* Danke, da sieht man den Wald ............

Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} f''(x) = e^x \cdot(-2 \cdot sin(x)) = -2 \cdot e^x \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Das sieht schon viel richtiger aus Augenzwinkern

11.05.2009, 10:24

Sandara

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommt doch nochmal eine Frage auf.

Ich hatte den Entwicklungspunkt x = 0 gegeben. Wenn ich die Ableitungen an der Stelle berechne, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(0) = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''''(0) = -4 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich folgende Anweisung:

Bestimmen Sie das $\begin{eqnarray*} T_4 \end{eqnarray*}$ -Polynom um den Entwicklungspunkt. Können Sie daraus die Taylorreihe bestimmen? Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} f(0,5) \end{eqnarray*}$ auf 5 Stellen genau mit Hilfe der Taylorreihe. Benutzen Sie hierzu keine transzendenten Funktionen.

So, jetzt hab ich stattdessen, die Potenzreihendarstellung genutzt und komme auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)}{(2n)!} \cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ und von dort nach vielen Umformungen auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1+x- \frac{2}{3!} \cdot x^3 - \frac{4}{4!} \cdot x^4 - \frac{1}{4!} \cdot x^5 + \frac{1}{3!4!} \cdot x^7 + \frac{1}{4!4!} \cdot x^8 + ..... \end{eqnarray*}$

Wir haben das THema erst angefangen, deshalb bin ich ein wenig unsicher. Ist das nun die Reihe? Ich würde 'ja' sagen, aber auch nur, weil sie anderen ähnelt, weniger weil ich es wüsste.

Oder geht es da weiter?

11.05.2009, 11:17

eierkopf1

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ableitungswerte stimmen.

Um das 4. Taylorpolynom zu bestimmen, brauchst du nur in diese Formel einsetzen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorpolyn...nition_und_Satz

Ein Bildungsgesetz für die Taylorreihe zu finden, ist nicht immer ganz einfach.
Du hast jetzt die Taylorreihen für den Kosinus und der e-Funktion verwendet und damit ein Bildungsgesetz gefunden. Ich denke aber, du hättest die Taylorreihen "händisch" ermitteln sollen.

11.05.2009, 14:03

Frank Xerox

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sandara
So, jetzt hab ich stattdessen, die Potenzreihendarstellung genutzt und komme auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^\infty~\frac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)}{(2n)!} \cdot x^{2n} \end{eqnarray*}$ und von dort nach vielen Umformungen auf:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1+x- \frac{2}{3!} \cdot x^3 - \frac{4}{4!} \cdot x^4 - \frac{1}{4!} \cdot x^5 + \frac{1}{3!4!} \cdot x^7 + \frac{1}{4!4!} \cdot x^8 + ..... \end{eqnarray*}$

Die Exponentialreihe genügt hier, wenn Du zuvor den Cos mittels Eulerscher Formeln 'umschreibst':

$\begin{eqnarray*} \operatorname{e}^x\cos(x)=\frac 12\left(\operatorname{e}^{(1+i)x}+\operatorname{e}^{(1-i)x}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}\left((1+i)^n+(1-i)^n\right) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} (1+i)^n+(1-i)^n \end{eqnarray*}$ kann man dann sicher noch andere Darstellungen finden.

Neue Frage »

Antworten »

Taylorreihe bestimmen

Verwandte Themen