Konvergenz von Integralen überprüfen

11.05.2009, 16:05

Duedi

Konvergenz von Integralen überprüfen

Hi!

Ich soll bestimmen, ob folgendes Integral konvergiert (der Wert ist nicht verlangt)

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \frac{\cos t}{t-\frac{\pi}{2}}\ \mathrm d t \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze bisher:

Das Integral durch eine Summe ersetzen, da bin ich aber noch nicht weitergekommen
Mithilfe der Taylorreihenentwicklung (in $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ) des Sinus weiterrechnen und dann durch den Linearfaktor teilen, erst dann statt dem Integral eine Summe schreiben. Das wird dann durch zwei Summenzeichen hintereinander sehr unschön.
Mit $\begin{eqnarray*} t-\frac{\pi}{2} = x \end{eqnarray*}$ durch Sinus darstellen, ansonsten fortfahren wie beim Punkt 2, das gibt aber Probleme mit den Grenzen.

Gibt es einen einfacheren dritten Weg oder habe ich bei einem der vorgestellten nicht weit genug gedacht?

Danke schonmal, Duedi smile

11.05.2009, 16:12

XEmdarogantid

Auf diesen Beitrag antworten »

Entwickle cos(t) um die Stelle pi/2 in eine Taylorreihe. Dann kannst du kürzen.
Dann wie gewohnt auf Konvergenz überprüfen!

11.05.2009, 16:35

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Jup so hab ichs bisher auch schon einmal versucht:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos t}{t-\frac{\pi}{2}}= \frac{1}{(t-\frac{\pi}{2})}-\frac{(t-\frac{\pi}{2})}{2!}+\frac{(t-\frac{\pi}{2})^3}{4!}-\frac{(t-\frac{\pi}{2})^5}{6!}\pm\cdots \end{eqnarray*}$

Integriert ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{\cos t}{t-\frac{\pi}{2}}\ \mathrm d t = \ln|t-\frac{\pi}{2}| - \frac{(t-\frac{\pi}{2})^2}{2\cdot 2!}+\frac{(t-\frac{\pi}{2})^4}{4\cdot 4!}-\frac{(t-\frac{\pi}{2})^6}{6\cdot 6!}\pm\cdots =: S(t) \end{eqnarray*}$

So, jetzt bin ich eventuell ein bißchen weitergekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\cos t}{t-\frac{\pi}{2}}\ \mathrm d t = \lim\limits_{a\to\infty}S(a) - S(0) \end{eqnarray*}$

Zuerst $\begin{eqnarray*} S(0) \end{eqnarray*}$ : Da $\begin{eqnarray*} \ln|-\frac{\pi}{2}| \end{eqnarray*}$ existiert und jedes der Glieder der Summe die darauf folgt, kleiner als das "dazugehörige" Glied in der Sinusreihe ist, konvergiert auch die gesamte Summe.

Für $\begin{eqnarray*} S(a) \end{eqnarray*}$ : Der Logarithmus divergiert hier, die Summe danach konvergiert aber. Folglich divergiert das Integral.

So richtig?

P.S.: Die etwas holprige Argumentation mit den konvergierenden Summen könnte ich noch mithilfe von Konvergenzradien begründen.

11.05.2009, 16:46

XEmdarogantid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau so richtig ist es!

gez. XEmdarogantid - Magus Level 34

11.05.2009, 16:48

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

wuppie, danke dir smile

11.05.2009, 17:00

Frank Xerox

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Integralen überprüfen
Du könntest auch einmal partiell integrieren und dann abschätzen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}~\dd x=\left[ \frac{\sin(x)}{x-\frac{\pi}{2}} \right]_a^b+\int_a^b\frac{\sin(x)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}~\dd x \end{eqnarray*}$

11.05.2009, 17:02

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Summand ist endlich, aber wie ich das zweite Integral abschätzen soll, fällt mir grad nicht ein.

11.05.2009, 17:10

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage zu Konvergenzradien:

Wenn ich eine Summe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_k a_k x^{2k} \end{eqnarray*}$ habe, kann ich dann einfach ganz normal mit Cauchy-Hadamard et. al. weiterrechnen oder stört hier, dass die ungeraden Potenzen von x nicht existieren?

11.05.2009, 19:53

kaguya_hime

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst zur letzten Frage:

Nach Hadamard ist der Konvergenzradius (der Potenzreihe der Summanden a_n*z^n)

$\begin{eqnarray*} \limsup |a_n|^{1/n} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun jedes zweite Mal Null da stehen hat, ändert sich am limsup und damit am Konvergenradius nichts.

Zur Anfangsfrage:

Geht es um das uneigentliche Riemann- oder das Lebesgue-Integral?

Für das uneigentliche Riemann-Integral zeige man

$\begin{eqnarray*} I = \lim_{b \to \infty} \int_{\pi/2}^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \int_{\pi/2+(k-1)\pi}^{\pi/2 + k\pi} f(x) \, dx \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x)/(x-\pi/2) \end{eqnarray*}$

Die Summe rechts ist eine Leibnizreihe ( wechselndes Vorzeichen und Summanden gehen gegen Null).

Das Lebesgue-Integral hingegen sollte nicht existieren.^^

11.05.2009, 23:29

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
Wenn ich eine Summe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_k a_k x^{2k} \end{eqnarray*}$ habe, kann ich dann einfach ganz normal mit Cauchy-Hadamard et. al. weiterrechnen oder stört hier, dass die ungeraden Potenzen von x nicht existieren?

Zitat:

Original von kaguya_hime
Wenn man nun jedes zweite Mal Null da stehen hat, ändert sich am limsup und damit am Konvergenradius nichts.

Aufpassen, so stimmt das nicht! Die Potenzreihe oben hat die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} b_n=\begin{cases} 0 & \text{für }n\text{ ungerade} \\ a_k & \text{für }n=2k \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[2k]{|a_k|}=\sqrt{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}} \end{eqnarray*}$ .

Das kann man auch etwas einfacher machen: Die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~a_kz^k \end{eqnarray*}$ hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}} \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}~a_kx^{2k} \end{eqnarray*}$ also für $\begin{eqnarray*} |x|^2<r \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} |x|^2>r \end{eqnarray*}$ , d.h. man hat Konvergenz für $\begin{eqnarray*} |x|<\sqrt{r} \end{eqnarray*}$ und Divergenz für $\begin{eqnarray*} |x|>\sqrt{r} \end{eqnarray*}$ . Damit muss $\begin{eqnarray*} \sqrt{r} \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius der angegebenen Potenzreihe sein.

PS: Eröffne bitte das nächste Mal für eine neue Frage (die in diesem Fall ja sogar zu einem ganz anderen Thema ist) auch einen neuen Thread!

12.05.2009, 14:02

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
So, jetzt bin ich eventuell ein bißchen weitergekommen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty\frac{\cos t}{t-\frac{\pi}{2}}\ \mathrm d t = \lim\limits_{a\to\infty}S(a) - S(0) \end{eqnarray*}$

...

Für $\begin{eqnarray*} S(a) \end{eqnarray*}$ : Der Logarithmus divergiert hier, die Summe danach konvergiert aber. Folglich divergiert das Integral.

Das stimmt nicht. Das vorliegende Integral konvergiert. Zunächst ist die Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ harmlos, da hier der Cosinus eine Nullstelle erster Ordnung hat, der Integrand also stetig ergänzbar ist. Und da uns nur die Konvergenz interessiert, können wir die Integration auch bei $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ starten. Nach einer Verschiebung findet man

$\begin{eqnarray*} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} \frac{\cos t}{t - \frac{\pi}{2}}~\dd t = - \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t}~\dd t \end{eqnarray*}$

Und das letzte Integral konvergiert bekanntlich.

12.05.2009, 19:21

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

hm stimmt. Danke euch allen.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Integralen überprüfen

Verwandte Themen