Ableitung bestimmen (Black-Scholes Formel nach der Volatilität)

11.05.2009, 16:26	baron03	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung bestimmen (Black-Scholes Formel nach der Volatilität) Hallo zusammen, ich möchte eine nichtlineare Gleichung mit Hilfe der Newton Methode lösen, dafür muss ich die Ableitung von der Funktion bestimmen, an dessen Nullstelle ich interessiert bin. Ich möchte berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial{C(\sigma_{k})}}{\partial{\sigma_{k}}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} C(\sigma_{k})=MN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_1=\frac{ln(\frac{M}{X})+(r+\frac{\sigma_{k}^{2}}{2})(T-t)}{\sigma_{k}\sqrt{T-t}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_2=d_1-\sigma_{k}\sqrt{T-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N(d)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d}{e^{-\frac{y^{2}}{2}}}dy \end{eqnarray}$ Da die Variable nach der ich ableiten möchte, nur in $\begin{eqnarray} d_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_2 \end{eqnarray}$ vorkommt und diese beiden Ausdrücke die Argumente der Standardnormalverteilung sind, ergibt sich die Bestimmung der Ableitung als Ableitung nach den Integrationsgrenzen, da ja das Argument der Standard NV als obere Integrationsgrenze auftritt. Mein Problem ist jetzt, dass ich nach dem Hauptsatz zwar weiß, wie man nach der oberen Integrationsgrenze ableitet, aber bei mir ist ja das Problem, dass ich von $\begin{eqnarray} \sigma_{k} \end{eqnarray}$ abhängige Funktion als obere Integrationsgrenzen habe. Die Lösung der Ableitung soll wohl angeblich die folgende sein bzw ich habe die Newton Iteration so gefunden: $\begin{eqnarray} \sigma_{k+1}=\sigma_{k}-\frac{C(\sigma_{k})-C_{0}}{\rho(\sigma_{k})} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \rho(\sigma_{k})=M\sqrt{\frac{(T-t)}{2\pi}}e^{-\frac{d_{1}\sigma_{k}^{2}}{2}} \end{eqnarray}$ Das bedeutet, dass die Ableitung die ich gerne berechnen würde gleich dem letzten Ausdruck sein muss, da bei der Newton Methode die Ableitung des Zählers im Nenner steht und $\begin{eqnarray} C_{0} \end{eqnarray}$ als Zahl bei der Ableitung wegfällt. Für einen Hinweis wäre ich sehr dankbar!!!
11.05.2009, 17:39	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung bestimmen (Black-Scholes Formel nach der Volatilität) Siehe erstmal hier: Leibniz'sche Regel (Wiki) Grüße Abakus

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