Eigenwerte, Eigenvektoren einer Matrix

11.05.2009, 16:47

Felix

Eigenwerte, Eigenvektoren einer Matrix

Folgende Definition von Eigenwerten einer Matrix ist in meinem Buch zu finden:

Ein Element $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ heißt Eigenwert einer Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert einer lin. Abbildung ist, die bezüglich einer Basis durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ definiert ist.
Das bedeutet: Das Element $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenwert von $\begin{eqnarray*} M=(m_{ij}) \end{eqnarray*}$ , falls es eine Basis $\begin{eqnarray*} {v_1,v_2, ..., v_n} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die lin. Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} f(v_j):= m_{1j}v_1 + m_{2j}v_2 + ... + m_{nj}v_n \end{eqnarray*}$ definiert ist, den Eigenwert $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hat.

... Hier hab ich nur was nicht relevantes gelöscht - meine Fragestellung hat sich geändert Augenzwinkern

lg

Edit:

hat sich schon geklärt ...

16.05.2009, 19:44

Felix

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Folgenden zwei Sätze bezüglich dieser Definition verstehe ich nicht:

1) Eigenwerte einer Matrix sind die Eigenwerte der zugehörigen linearen Abbildung.

Ein und die selbe Matrix beschreiben bezüglich verschiedener Basen verschiedene lineare Abbildungen. Haben diese alle die selben Eigenwerte ???

2) Die Definition des Eigenwerts einer Matrix ist unabhängig von der Auswahl einer Basis.

Das wird folgendermaßen begründet: Ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte. Da Basiswechsel den Übergang zu einer ähnlichen Matrix bedeutet folgt die Aussage.

Wenn ich für ein und dieselbe Matrix zweimal zwei Basen zugrunde lege um damit zwei verschiedene lineare abbildungen zu beschreiben, dann ist das doch kein Übergang zu einer ähnlichen Matrix. (Der findet ja nur dann statt wenn man schon mal eine Darstellungsmatrix einer eindeutig bestimmten lin. Abb. hat und hier dann die Basis wechseln möchte)

Ich bin absolut verwirrt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

17.05.2009, 01:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Folgenden zwei Sätze bezüglich dieser Definition verstehe ich nicht:

1) Eigenwerte einer Matrix sind die Eigenwerte der zugehörigen linearen Abbildung.

Ein und die selbe Matrix beschreiben bezüglich verschiedener Basen verschiedene lineare Abbildungen. Haben diese alle die selben Eigenwerte ???

Ja. Genau das sagt doch (2) aus.

Zitat:

Original von Felix
2) Die Definition des Eigenwerts einer Matrix ist unabhängig von der Auswahl einer Basis.

Das wird folgendermaßen begründet: Ähnliche Matrizen haben die gleichen Eigenwerte. Da Basiswechsel den Übergang zu einer ähnlichen Matrix bedeutet folgt die Aussage.

Wenn ich für ein und dieselbe Matrix zweimal zwei Basen zugrunde lege um damit zwei verschiedene lineare abbildungen zu beschreiben, dann ist das doch kein Übergang zu einer ähnlichen Matrix. (Der findet ja nur dann statt wenn man schon mal eine Darstellungsmatrix einer eindeutig bestimmten lin. Abb. hat und hier dann die Basis wechseln möchte)

Lieber Felix, da hast du allerdings recht. Was dort steht, ist absolut blödsinnig aufgeschrieben, verwirrend und unlogisch. Die Begründung kann so erfolgen:

Wenn M Darstellungsmatrix von zwei linearen Abbildungen f: V --> V und g: W --> W ist, dann gibt es Isomorphismen $\begin{eqnarray*} \Phi : V\to K^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi : W\to K^n, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} f = \Phi^{-1}\circ M\circ \Phi \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g = \psi^{-1}\circ M\circ \psi \end{eqnarray*}$

gelten. Mach dir das z.B. an einem kommutierenden Diagramm klar. Sei nun $\begin{eqnarray*} \lambda\in K \end{eqnarray*}$ ein Eigenwert von f. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} v\in V\setminus\{0\}, \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} f(v) = \lambda v. \end{eqnarray*}$

Setze $\begin{eqnarray*} u := \psi^{-1}(\Phi(v)). \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} u\in W\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ (denn $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ sind Isomorphismen), und es gilt

$\begin{eqnarray*} g(u) &=& g(\psi^{-1}(\Phi(v))) = \psi^{-1}(M\psi(\psi^{-1}(\Phi(v)))) = \psi^{-1}(M\Phi(v))\\&=& \psi^{-1}(\Phi(\Phi^{-1}(M\Phi(v)))) = \psi^{-1}(\Phi(f(v))) = \psi^{-1}(\Phi(\lambda v))\\&=& \psi^{-1}(\lambda\Phi(v)) = \lambda \psi^{-1}(\Phi(v)) = \lambda u. \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ auch ein Eigenwert von g. Analog zeigt man, dass Eigenwerte von g auch Eigenwerte von f sind.

17.05.2009, 14:42

Felix

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Ok das sieht schon viel besser aus Big Laugh

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f = \Phi^{-1}\circ M\circ \Phi \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g = \psi^{-1}\circ M\circ \psi \end{eqnarray*}$

gelten. Mach dir das z.B. an einem kommutierenden Diagramm klar.

Wie sieht so ein kommutierendes Diagramm aus? Wenn ich das richtig verstehe, dann soll ich damit beweisen, dass es für eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ einer lin. Abb. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ immer einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f = \Phi^{-1} M \Phi \end{eqnarray*}$ . Dabei nehm ich mal an das M als lineare Abbildung aufgefasst wird, indem man jeden Vektor v auf $\begin{eqnarray*} M \cdot v \end{eqnarray*}$ abbildet.

17.05.2009, 14:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Wenn ich das richtig verstehe, dann soll ich damit beweisen, dass es für eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ einer lin. Abb. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ immer einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f = \Phi^{-1} M \Phi \end{eqnarray*}$ . Dabei nehm ich mal an das M als lineare Abbildung aufgefasst wird, indem man jeden Vektor v auf $\begin{eqnarray*} M \cdot v \end{eqnarray*}$ abbildet.

Genauso ist es. Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ nennt man auch Koordinatenabbildung. Die Bilder der Vektoren einer (vorher fest gewählten) Basis von V sind gerade die Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray*} K^n. \end{eqnarray*}$ Das solltest du aber eigentlich schon wissen.

17.05.2009, 15:17

Felix

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Naja ich kenn das nur indirekt. Seien $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ zwei Darstellungsmatrizen einer linearen Selbstabbildung f (bezüglich verschiedener Basen). Dann gibt es eine invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A'=S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ .
Wie mache ich mir das mit den Koordinatenabbildungen am besten klar? Ich tappe gerade im Dunklen.

lg

17.05.2009, 23:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von Felix
Wie mache ich mir das mit den Koordinatenabbildungen am besten klar? Ich tappe gerade im Dunklen.

Du scheinst ein paar Defizite zu haben. Aber das ist normal, denke ich. Man muss sich ja erstmal an den ganzen Kram gewöhnen. Das Prinzip der vollständigen Induktion z.B. habe ich auch erst recht spät kapiert. Also, ich werde mal versuchen, dir das zu erklären.

Wir haben also eine lineare Abbildung f: V --> V (ein sogenannter Endomorphismus, da f den Vektorraum V in sich selbst, und nicht in einen anderen Vektorraum W hinein abgebildet). Sei $\begin{eqnarray*} B := \{v_1,\dots,v_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V. Dann setzen wir

$\begin{eqnarray*} \Phi(v_j) := e_j\quad \end{eqnarray*}$ (j-ter Einheitsvektor im $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ), j = 1,...,n.

So wird eindeutig eine lineare Abbldung $\begin{eqnarray*} \Phi : V\to K^n \end{eqnarray*}$ definiert. Wie man leicht sieht, ist $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus. Dieser Isomorphismus ist eine sogenannte Koordinatenabbildung. V wird so über die Basis B mit dem $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ identifiziert. $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ wird mit $\begin{eqnarray*} e_j \end{eqnarray*}$ identifiziert, und damit

$\begin{eqnarray*} \alpha_1v_1 + \dots + \alpha_nv_n \end{eqnarray*}$

mit dem Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Der j-te Spaltenvektor der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis B ist nun der Koordinatenvektor (bzgl. der Basis B) des Bildes (unter f) des j-ten Basisvektors von B (also $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ ). Was bedeutet das? Das Bild (unter f) des j-ten Basisvektors von B ist $\begin{eqnarray*} f(v_j). \end{eqnarray*}$ Da dieses Bild in V liegt, kann man es durch eine Linearkombi der $\begin{eqnarray*} v_j \end{eqnarray*}$ darstellen:

$\begin{eqnarray*} f(v_j) = m_{1j}v_1 + m_{2j}v_2 + \dots + m_{nj}v_n. \end{eqnarray*}$

Der Koordinatenvektor (bzgl. B) ist nun gerade

$\begin{eqnarray*} m_j := \begin{pmatrix}m_{1j}\\ m_{2j}\\ \vdots\\ m_{nj}\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Also ist dieses $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ der j-te Spaltenvektor der Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis B. Das kann man auch anders schreiben:

$\begin{eqnarray*} m_j = \Phi(f(v_j)). \end{eqnarray*}$

Das werden wir im folgenden benutzen. Ist M die Darstellungsmatrix, dann ist also

$\begin{eqnarray*} M = (m_1,\dots,m_n). \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} m_j \end{eqnarray*}$ sind ja die Spaltenvektoren von M. Sei $\begin{eqnarray*} x\in V. \end{eqnarray*}$ Dann hat x eine Darstellung

$\begin{eqnarray*} x = \sum_j\alpha_jv_j. \end{eqnarray*}$

Damit gilt

$\begin{eqnarray*} M\Phi(x) &=& M\Phi\left(\sum_j\alpha_jv_j\right) = M\sum_j\alpha_j\Phi(v_j)\\ &=& M\sum_j\alpha_je_j = M\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n\end{pmatrix} = \sum_j\alpha_jm_j\\ &=& \sum_j \alpha_j\Phi(f(v_j)) = \Phi\left(\sum_j \alpha_jf(v_j)\right)\\ &=& \Phi\left( f\left( \sum_j \alpha_jv_j\right)\right) = \Phi(f(x)). \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} M\circ\Phi = \Phi\circ f, \end{eqnarray*}$

beziehungsweise

$\begin{eqnarray*} M = \Phi\circ f \circ \Phi^{-1}. \end{eqnarray*}$

Oder andersherum

$\begin{eqnarray*} f = \Phi^{-1}\circ M\circ\Phi. \end{eqnarray*}$

Wenn du irgendwas nicht verstehst, frag ruhig nach.

18.05.2009, 08:50

Felix

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Alles klar. Super erklärt, danke Freude

Wenn man es dann so aufgeschrieben sieht, fragt man sich warum man da nicht selbst draufgekommen ist Big Laugh

Andererseits finde ich es eigentlich auch seltsam, dass diese Beziehung kein einziges Mal erwähnt wurde, ich denke ich sollte mich mal um ein anderes Buch bemühen oder gibt es zur linearen Algebra auch gute Internetseiten, die den Stoff behandeln?

lg

18.05.2009, 12:24

WebFritzi

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Naja, Bücher sind ja nicht so teuer. Besorg dir einfach den Fischer. Damit lernst du alle Grundlagen der linearen Algebra. Es sind gute Erklärungen darin, auch Aufgaben und vor allem keine Fehler (jedenfalls nicht, dass ich wüsste). Auf Amazon gibt es den bestimmt auch gebraucht.

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