Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck |
11.05.2009, 19:03 | Feuerball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Folgendes Beispiel: "Einem Kreis mit Radius soll das flächengrößte Dreieck eingeschrieben werden." Ich habe mal eine Skizze gemacht: [attach]10491[/attach] Die Hauptbedingung ist: Leider komme ich nicht auf die Nebenbedingungen. Kann mir jemand helfen? mfg |
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11.05.2009, 19:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Wir lang kann denn eine Seite des Dreiecks maximal sein? Wenn eine Sehne vorgegeben ist, welchen Punkt würde man als dritten Dreieckspunkt wählen um bzgl. diesen Sehne das maximale Dreieck zu erhalten? |
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11.05.2009, 19:59 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck die nebenbedingung bekommst du aus dem sehnensatz, wenn du ihn auf die höhe und die zugehörige seite anwendest |
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11.05.2009, 20:19 | Feuerball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck @riwe: Aber damit komme ich auf nicht weiter @tigerbine: Eine Seite kann max. lang sein. Du meinst sicherlich, dass es dann ein gleichschenkeliges Dreieck wird, oder? |
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11.05.2009, 20:34 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
ja wenn man keine ordentliche skizze macht vielleicht hilft ja das bilderl weiter (beachte den titel ) du solltest schon verraten, was deine bezeichner sein sollen |
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11.05.2009, 21:33 | Feuerball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Danke Werner! Ich komme jetzt auf: Die Höhe ist: Die Fläche des Dreiecks (bestehend aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken) ist: Stimmt so oder? Weiter schaffe ich es alleine! mfg |
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11.05.2009, 23:36 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
ich hätte es umgekehrt angepackt: und jetzt setzt du für y² ein |
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12.05.2009, 09:07 | Feuerball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Warum quadrierst du die Funktion? |
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12.05.2009, 09:14 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck (nur) weil sie dann leichter zu differenzieren ist. denn: wo f(x) ein extremum hat, hat auch f²(x) eines edit: nebenbei muß es bei dir in der klammer A = y(r + .....) heißen |
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12.05.2009, 12:59 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Es sollte noch klargestellt werden welches Dreieck eingeschrieben werden soll. Laut der Zeichnung von Riwe ist es ein gleichschenkeliges Dreieck. Geht es hierbei um ein allgemeines Dreieck? (laut Zeichnung von Feuerball ist es ein Allgemeines. Die Seite B-D ist nicht senkrecht! und damit ist CD != BD, Die Höhe Ha würde auch nicht durch den Mittelpunkt laufen) Dann würde die von Riwe in seine ins Bild geschriebene Formel für den Sehnensatz nicht stimmen. |
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12.05.2009, 13:09 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
ich dachte, das hätte tigerbine hinreichend klar gemacht. zeichne dir doch einfach einen kreis mit konstanter sehne. dann ist doch offensichtlich, welche höhe maximal ist man kann natürlich auch daraus eine minimax-aufgabe machen nebenbei: man kann den sehnensatz (hier) auch höhensatz nennen |
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12.05.2009, 13:25 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Nein also mir ist nicht klar was Tigerbine hier zeigen möchte. Meiner eventuell falschen Meinung nach geht ihr von einem Spezialfall aus. [attach]10503[/attach] Ich lasse mich aber gerne eines Besseren belehren. |
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12.05.2009, 13:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Nett dass du mich ansprichst, wo doch riwe die Arbeit macht.
Bleiben wir bei dem kleinen Dreieck in deiner Skizze. Die Höhe ist nicht optimal. Verschiebe Parallel AB, bis der Kreis tangiert wird. Dann ist die Höhe maximal. Warum ist das Dreieck nun gleichschenklig? |
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12.05.2009, 15:20 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck ok, der Weg ist mir jetzt klar. Aber: Mir gehen hier zu viele Überlegungen voraus. Es muss doch einen anderen Weg geben auf dieses Ergbnis zu kommen, auch ohne vorgehende Überlegungen wie das Dreieck aussehen muss. Die Mathematik muss doch "von selbst" draufkommen wie man auf die max. Fläche kommt. Auch mit "meinem" Dreieck und einer Funktion der Fläche in Abhängigkeit aller 3 Punkte. Die 3 Punkte sollten durch je einen Winkel von einem Ursprung gekennzeichnet werden. Daraus lässt sich ja auch eine Funktion für die Fläche entwickeln. Ich fände eine solche Lösung viel eleganter. Man leitet alles aus den Trigonometrische Funktionen und der Flächenformel her. |
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12.05.2009, 15:56 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
dann tu´s halt elegant ist in der regel einfach, nicht umgekehrt ich für mein simples gemüt finde es halt sinnvoller, zuerst nachzudenken und damit den rechenaufwand zu minimieren. |
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12.05.2009, 16:09 | Bierdeckel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck Aber genau das mein ich mit elegant. Es muss auf Anhieb klar sein wie die Lösung ermittelt wird. Auch ohne vorhergehende Erklärung. Ich werd mich heute Abend mal hinsetzen und das rechnen |
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12.05.2009, 16:19 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
viel spaß bei deiner winkelschreiberei. wenn schon anders rum, also ohne denken , dann würde ich es so probieren (lösungsskizze): und auf einer sehne womit man liebenswürdigerweise erhält: also das erwünschte gleichseitige dreieck |
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12.05.2009, 17:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von allen Dreiecken über einer Sehne der festen Länge hat eines der beiden gleichschenkligen Dreiecke den größten Flächeninhalt. Für die Extremwertaufgabe genügt es daher, gleichschenklige Dreiecke zu betrachten. Wenn nun ein gleichschenkliges Dreieck nicht gleichseitig ist, so betrachten wir einen seiner beiden Schenkel als Sehne . Es gibt nun, wie gerade begründet, ein größeres Dreieck mit als Sehne, nämlich ein gleichschenkliges mit als Basis. Fazit: Ist ein Dreieck nicht gleichseitig, so gibt es immer ein Dreieck mit größerem Flächeninhalt. Also hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt. |
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12.05.2009, 17:30 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber Bierdeckel, ein durchaus sympathischer Name, will es halt nicht glauben sondern verwinkelt rechnen, rechnen.... Diesen Beweis von Leopold nenne ich elegant: nix gerechnet, glasklar argumentiert |
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