Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck

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Feuerball Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Hallo!

Folgendes Beispiel:

"Einem Kreis mit Radius soll das flächengrößte Dreieck eingeschrieben werden."


Ich habe mal eine Skizze gemacht:
[attach]10491[/attach]

Die Hauptbedingung ist:


Leider komme ich nicht auf die Nebenbedingungen.

Kann mir jemand helfen?

mfg
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Wir lang kann denn eine Seite des Dreiecks maximal sein?

Wenn eine Sehne vorgegeben ist, welchen Punkt würde man als dritten Dreieckspunkt wählen um bzgl. diesen Sehne das maximale Dreieck zu erhalten?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
die nebenbedingung bekommst du aus dem sehnensatz,
wenn du ihn auf die höhe und die zugehörige seite anwendest smile
Feuerball Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
@riwe:




Aber damit komme ich auf nicht weiter unglücklich

@tigerbine:
Eine Seite kann max. lang sein.

Du meinst sicherlich, dass es dann ein gleichschenkeliges Dreieck wird, oder?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von Feuerball
@riwe:




Aber damit komme ich auf nicht weiter unglücklich

@tigerbine:
Eine Seite kann max. lang sein.

Du meinst sicherlich, dass es dann ein gleichschenkeliges Dreieck wird, oder?


ja wenn man keine ordentliche skizze macht unglücklich

vielleicht hilft ja das bilderl weiter
(beachte den titel smile )

du solltest schon verraten, was deine bezeichner sein sollen verwirrt
Feuerball Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Danke Werner!

Ich komme jetzt auf:

Die Höhe ist:


Die Fläche des Dreiecks (bestehend aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken) ist:



Stimmt so oder?

Weiter schaffe ich es alleine!

mfg
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von Feuerball
Danke Werner!

Ich komme jetzt auf:

Die Höhe ist:


Die Fläche des Dreiecks (bestehend aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken) ist:



Stimmt so oder?

Weiter schaffe ich es alleine!

mfg


ich hätte es umgekehrt angepackt:





und jetzt setzt du für y² ein
Feuerball Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von riwe



Warum quadrierst du die Funktion?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
(nur) weil sie dann leichter zu differenzieren ist.
denn: wo f(x) ein extremum hat, hat auch f²(x) eines

edit:
nebenbei muß es bei dir in der klammer A = y(r + .....) heißen
Bierdeckel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Es sollte noch klargestellt werden welches Dreieck eingeschrieben werden soll.

Laut der Zeichnung von Riwe ist es ein gleichschenkeliges Dreieck.

Geht es hierbei um ein allgemeines Dreieck? (laut Zeichnung von Feuerball ist es ein Allgemeines. Die Seite B-D ist nicht senkrecht! und damit ist CD != BD, Die Höhe Ha würde auch nicht durch den Mittelpunkt laufen)

Dann würde die von Riwe in seine ins Bild geschriebene Formel für den Sehnensatz nicht stimmen.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von Bierdeckel
Es sollte noch klargestellt werden welches Dreieck eingeschrieben werden soll.

Laut der Zeichnung von Riwe ist es ein gleichschenkeliges Dreieck.

Geht es hierbei um ein allgemeines Dreieck? (laut Zeichnung von Feuerball ist es ein Allgemeines. Die Seite B-D ist nicht senkrecht! und damit ist CD != BD)

Dann würde die von Riwe in seine ins Bild geschriebene Formel für den Sehnensatz nicht stimmen.


ich dachte, das hätte tigerbine hinreichend klar gemacht.

zeichne dir doch einfach einen kreis mit konstanter sehne.
dann ist doch offensichtlich, welche höhe maximal ist smile
man kann natürlich auch daraus eine minimax-aufgabe machen

nebenbei: man kann den sehnensatz (hier) auch höhensatz nennen Augenzwinkern
Bierdeckel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Nein also mir ist nicht klar was Tigerbine hier zeigen möchte. Meiner eventuell falschen Meinung nach geht ihr von einem Spezialfall aus.

[attach]10503[/attach]

Ich lasse mich aber gerne eines Besseren belehren.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Nett dass du mich ansprichst, wo doch riwe die Arbeit macht.

Zitat:
Wenn eine Sehne vorgegeben ist, welchen Punkt würde man als dritten Dreieckspunkt wählen um bzgl. diesen Sehne das maximale Dreieck zu erhalten?


Bleiben wir bei dem kleinen Dreieck in deiner Skizze. Die Höhe ist nicht optimal. Verschiebe Parallel AB, bis der Kreis tangiert wird. Dann ist die Höhe maximal. Warum ist das Dreieck nun gleichschenklig?
Bierdeckel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
ok, der Weg ist mir jetzt klar.

Aber: Mir gehen hier zu viele Überlegungen voraus.

Es muss doch einen anderen Weg geben auf dieses Ergbnis zu kommen, auch ohne vorgehende Überlegungen wie das Dreieck aussehen muss. Die Mathematik muss doch "von selbst" draufkommen wie man auf die max. Fläche kommt. Auch mit "meinem" Dreieck und einer Funktion der Fläche in Abhängigkeit aller 3 Punkte.

Die 3 Punkte sollten durch je einen Winkel von einem Ursprung gekennzeichnet werden. Daraus lässt sich ja auch eine Funktion für die Fläche entwickeln.
Ich fände eine solche Lösung viel eleganter. Man leitet alles aus den Trigonometrische Funktionen und der Flächenformel her.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von Bierdeckel
ok, der Weg ist mir jetzt klar.

Aber: Mir gehen hier zu viele Überlegungen voraus.

Es muss doch einen anderen Weg geben auf dieses Ergbnis zu kommen, auch ohne vorgehende Überlegungen wie das Dreieck aussehen muss. Die Mathematik muss doch "von selbst" draufkommen wie man auf die max. Fläche kommt. Auch mit "meinem" Dreieck und einer Funktion der Fläche in Abhängigkeit aller 3 Punkte.

Die 3 Punkte sollten durch je einen Winkel von einem Ursprung gekennzeichnet werden. Daraus lässt sich ja auch eine Funktion für die Fläche entwickeln.
Ich fände eine solche Lösung viel eleganter. Man leitet alles aus den Trigonometrische Funktionen und der Flächenformel her.


dann tu´s halt unglücklich

elegant ist in der regel einfach, nicht umgekehrt smile
ich für mein simples gemüt finde es halt sinnvoller, zuerst nachzudenken und damit den rechenaufwand zu minimieren.
Bierdeckel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Aber genau das mein ich mit elegant.

Es muss auf Anhieb klar sein wie die Lösung ermittelt wird. Auch ohne vorhergehende Erklärung.

Ich werd mich heute Abend mal hinsetzen und das rechnen Big Laugh
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: Kreis und Dreieck
Zitat:
Original von Bierdeckel
Aber genau das mein ich mit elegant.

Es muss auf Anhieb klar sein wie die Lösung ermittelt wird. Auch ohne vorhergehende Erklärung.

Ich werd mich heute Abend mal hinsetzen und das rechnen Big Laugh


viel spaß bei deiner winkelschreiberei. Augenzwinkern

wenn schon anders rum, also ohne denken unglücklich , dann würde ich es so probieren (lösungsskizze):

und auf einer sehne



womit man liebenswürdigerweise erhält:



also das erwünschte gleichseitige dreieck smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Von allen Dreiecken über einer Sehne der festen Länge hat eines der beiden gleichschenkligen Dreiecke den größten Flächeninhalt. Für die Extremwertaufgabe genügt es daher, gleichschenklige Dreiecke zu betrachten. Wenn nun ein gleichschenkliges Dreieck nicht gleichseitig ist, so betrachten wir einen seiner beiden Schenkel als Sehne . Es gibt nun, wie gerade begründet, ein größeres Dreieck mit als Sehne, nämlich ein gleichschenkliges mit als Basis.
Fazit: Ist ein Dreieck nicht gleichseitig, so gibt es immer ein Dreieck mit größerem Flächeninhalt. Also hat das gleichseitige Dreieck den größten Flächeninhalt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

aber Bierdeckel, ein durchaus sympathischer Name, will es halt nicht glauben unglücklich
sondern verwinkelt rechnen, rechnen....

Diesen Beweis von Leopold nenne ich elegant:
nix gerechnet, glasklar argumentiert Augenzwinkern
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