Wie bestimme ich die Parameterform einer Ebene?

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12.05.2009, 14:06	franz86	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bestimme ich die Parameterform einer Ebene? Ich habe einige Fragen bezüglich der Parameterdarstellung. Gegeben ist mir: $\begin{eqnarray} F: x + y + z = 3 \end{eqnarray}$ Was kann ich daraus ableiten für die Parameterform? Gesucht ist also die Parameterform!!! Mir ist nicht vollständig klar wie ich Sie bilden soll. Ich habe einige Sachen gelesen, dass es zum Beispiel sehr viele verschiedene Paramterdarstellungen einer Ebene geben kann. Die Richtungsvektoren müssen senkrecht auf dem Normalvektor liegen. Das heißt doch, dass das Skalarprodukt des Normalvektors (1,1,1) mit einem der Richtungsvektoren Null ergeben muss Ich habe also folgende Parameterform geraten, da ich keine wirklichen Ansätze benutzt habe: $\begin{eqnarray} F: (0, 2, 1)^{T} + s(-1, 0, 1)^{T} + t(0, -1, 1)^{T} \end{eqnarray}$ Ist das denn richtig? Kann mir eventuell jemand ein Weg erklären wie das funktioniert und worauf man achten muss??? Großes Danke schonmal jetz
12.05.2009, 14:10	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht ziemlich einfach Sei x=r und y=s, dann ist: x=0+1r+0s y=0+0r+1s z=3-1r-1s Jetz kannst du die Parameterform ganz einfach ablesen. Das klappt immer so, wenn du zwischen diesen beiden Formen der Ebene umwandeln willst...
12.05.2009, 14:26	franz86	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstehe, dann wäre ausgehend von deinem Beispiel die Parameterform: $\begin{eqnarray} F: \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist das korrekt? Wie kommst du auf: x=0+1r+0s y=0+0r+1s z=3-1r-1s ??? Kannst du mir da noch etwas auf die Sprünge helfen?
12.05.2009, 14:37	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Gleichung ist das selbe wie x=r - nur etwas getunt Genauso die 2. Gleichung. Die dritte Gleichung ist einfach nur nach z umgestellt
12.05.2009, 14:48	franz86	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie du auf die 3. Gleichung kommst kann ich nachvollziehen, die ersten beiden leider nicht, was machst du denn da?
12.05.2009, 14:54	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hübsche die Gleichung x=r etwas auf, indem ich Glieder hinzufüge, die man sonst nicht ausschreibt. x=r x=0+1r+0s Damit man die Lösung am Ende schön ablesen kann
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12.05.2009, 16:16	franz86	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich kriegs nicht auf die Reihe! Wozu ist es notwendig zu sagen, dass x=r und y=s ist? Wieso belibt das z=z??? Irgendwie kann ich das nicht nachvollziehen. Mein Problem ist, dass ich nicht versteh wie du von der einen Gleichung: $\begin{eqnarray} F: x + y + z = 3 \end{eqnarray}$ auf 3 Gleichungen kommst: $\begin{eqnarray} x=0+1r+0s <br /> y=0+0r+1s <br /> z=3-1r-1s \end{eqnarray}$ Wobei mir klar ist wie du auf die z-Gleichung kommst, da hast du doch die Ausgangsgleichung nur nach z umgestellt oder? Vielleicht hast du noch n Tip für mich.
12.05.2009, 16:20	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird einfach so festgelegt. Du bestimmt doch selbst deine 3 Gleichungen. x=r und y=s sind doch 2 Gleichungen, die beide umgeschrieben werden, wie sie da nun stehen. Die 3. Gleichung entsteht durch das Einsetzen der ersten beiden Gleichungen in die Originalgleichung und durch Umstellen nach z!
12.05.2009, 20:42	franz86	Auf diesen Beitrag antworten »
nur noch eine frage: wenn die ebenengleichung so aussieht : $\begin{eqnarray} F: 3x - 4y + 2z = 4 \end{eqnarray}$ wo stehen dann die 3 bzw. - 4 in deinem gleichungssystem? meine vermutung: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x = 0 + 3r + 0s <br /> y = 0 + 0r - 4s <br /> z = 2 - 1.5r + 2s<br /> \end{eqnarray}$ oder vllt eher in diese richtung?? $\begin{eqnarray} x = 3 + 1r + 0s \end{eqnarray}$ Kannst du mir das noch verraten?
13.05.2009, 13:48	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe hier schon mal bei solch einem problem geholfen. Schau es dir hier nochmal an einem anderen Beispiel an: Kreuzprodukt-Umkehrung möglich?

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Wie bestimme ich die Parameterform einer Ebene?

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