Flugbahn eines Gegenstandes

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12.05.2009, 14:13	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Flugbahn eines Gegenstandes Wirft man einen Gegenstand vom Boden aus in einem Winkel von 45° schräg nach oben, so hat seine Flugbahn die Form einer Parabel. Die Gleichung dieser Parabel hat die Form y=-ax² + x. x und y sind die Entfernungen von Abwurfpunkt in horizontaler und vertikaler Richtung (in m). Für a gilt: a = 10/v² (v ist die Abwurfgeschwindigkeit in m/s.) Ein Schüler stößt eine Kugel mit Geschwindigkeit v=14,4 km/h ab. Wie weit von A entfernt landet die Kugel. Ich soll die Aufgabe auch noch zeichnerisch lösen. Zuerst hab ich mal ausgerechnet, das die Geschwindigkeit der Kugel 4 m/s ist. Dann hat a in der Gleichung den Wert 5/8. Jetzt komm ich nicht mehr weiter Vor allem versteh ich den Satz "x und y sind die Entfernungen vom Abwurfpunkt in horizontaler und vertikaler Richtung (in m)" nicht!!
12.05.2009, 14:41	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest mal hier etwas erfahren: http://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%A4ger_Wurf LGR
12.05.2009, 15:00	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
danke aber das bringt mich leider auch nicht weiter. Das mit sin und cos hatten wir noch gar nicht...
12.05.2009, 15:19	++Alpha++	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein das in deiner Gleichung etwas fehlt bzw. du noch etwas ergänzen musst? Die kugel wird ja aus einer höhe von 2 metern abgeworfen. Wenn ich allerdings in die gleichung 0 einsetze (Punkt des Abwurfs) kommt für y (höhe der Kugel) 0 und nicht zwei heraus. Die weite des Wurfes kann man ja auch als abstand zwischen dem Ursprung ( Abwurfpunkt) und dem Schnittpunkt der Parabel mit der x Achse ansehen. Weiter fliegt der Ball ja nicht. Und wie Berechnet man den Schnittpunkte mit der x Achse? Sorry wenn ich dich jetzt noch mehr verwirrt haben sollte, irgendwie ist es viel einfacher was zu kapieren als was zu erklären.
12.05.2009, 15:48	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich in die Gleichung einsetze y=-5/8 x 0 + 2m, dann kommt bei mir für y 2m heraus... logisch, ne? Das ist ja eigentlich schon vorgegeben... und wenn ich dann für y 0 einsetze, kommt 1,118033..... heraus, also müsste der Schnittpunkt mit der x-Achse doch (1,118... l 0) sein? ... und jetzt?
12.05.2009, 16:58	++Alpha++	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh, irgendwie reden wir aneinander vorbei, wie lautet denn jetzt die Formel? Im ersten Beitrag hies sie ja noch $\begin{eqnarray} y=-\frac{8}{5}x^{2}+x \end{eqnarray}$ da war noch kein +2 vorhanden. Jetzt scheint sie plötzlich $\begin{eqnarray} y=-\frac{8}{5}x+2 \end{eqnarray}$ zu heissen oder hab ich jetzt grad nen Blackout? Und in keiner der Formeln bekomme ich x= 1,118... als nullstelle heraus
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12.05.2009, 17:13	Intercept0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch einsetzen der gegebenen Daten erhalten wir: $\begin{eqnarray} y=-\frac{10}{14,4^2}\cdot x^2+x \end{eqnarray}$ Stell dir ein Koordinatensystem vor, wobei y = 2 und x = 0 der Starpunkt des zu werfenden Objektes ist.
12.05.2009, 17:35	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
@InterceptOr so weit waren wir schon. Außerdem muss v in m/s angegeben werden, das sind dann -10/4² = -5/8 @++Alpha++ ja... ich hab irgendwie scheiße geplabbert... weiß auch nicht, wo ich die 2 herhab... die Formel lautet y=-5/8x² + x heißt das dann nicht, dass die Parabel ihren Scheitel im Punkt (0 l x) hat? weil das wären dann ja -5/8(x-0)² + x... oder? der Schnittpunkt mit der x-Achse müsste (1,6 l 0) sein.
12.05.2009, 18:00	Intercept0r	Auf diesen Beitrag antworten »
also, versuch doch mal eine quadratische Funktion in der Form und dann nullstellen berechnen: $\begin{eqnarray} x_1,x_2 = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} \end{eqnarray}$
12.05.2009, 18:15	++Alpha++	Auf diesen Beitrag antworten »
Also jetzt bin ich voll völlig verwirrt. Wenn du jetzt in deine endgültige Gleichung x=0 einsetzt dann kommt für y null raus. Das heisst der Ball ist zur Zeit des Abwurfs 0 meter hoch . Kann es sein das Die Parabel zwar die Form $\begin{eqnarray} y = -\frac{5}{8}x^{2}+x \end{eqnarray}$ hat aber du die Parabel noch um 2 Meter nach oben verschieben musst? Dann würd die gleichung heissen $\begin{eqnarray} y = -\frac{5}{8}x^{2}+x+2 \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt wie Intercept0r vorgeschlagen hast die Nullstellen berechnest dann bist du ja Praktisch fertig. Zum zeichnerischen lösen: dürft ihr einen GTR oder so benutzen? Annsonsten fällt mir gerade keine gescheite möglichkeit ein.
12.05.2009, 18:25	Intercept0r	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach umformungen: $\begin{eqnarray} 0 = x^2 - \frac{5}{8} x - 3\frac{1}{5} \end{eqnarray}$ Lösung: $\begin{eqnarray} x_1 = -1,265 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2 = 2,515 \end{eqnarray}$
12.05.2009, 18:33	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh auch nicht mehr viel... übrigens hab ich mich vorhin wieder vertan... vergesst einfach alles, was ich gesagt habe... @ InterceptOr: wo kommen die - 3 1/5 her? ich glaub, so was hatten wir noch nicht... @++Alpha++: ja, daher hatte ich vorher die + 2
12.05.2009, 18:42	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein, dass der Scheitel (1/2 l 2,15625) ist? komische Zahlen...
13.05.2009, 14:29	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den y=-5/8x² + x + 2 kann auch nicht sein... dann müssten die 2m doch bis zum Scheitel gehen oder? ich weiß nicht weiter...
13.05.2009, 15:04	++Alpha++	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso willst du denn den Scheitel berechnen? Das ist doch der Punkt an dem der Ball am höchsten ist. Du willst doch aber wissen wann der Ball auf dem Boden landet, also die x-Achse kreuzt. Das heisst du musst die Nullstelle berechnen.
13.05.2009, 15:32	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dazu folgende Überlegung angestellt: Die Kugel wird unter dem Winkel von 45° abgestoßen, also lege ich an die Parabel $\begin{eqnarray} y = -\frac{5}{8} \cdot x^2 + x \end{eqnarray}$ eine Tangente mit der Steigung eins. Die Ableitung ist: $\begin{eqnarray} y' = -(\frac{5x-4}{4}) \end{eqnarray}$ , und der damit ermittelte Abstoßpunkt ist genau der Ursprung. Das Bodenniveau ist aber 2m unter dem Abstoßpunkt, also muss ich die Gerade $\begin{eqnarray} y = -2 \end{eqnarray}$ mit der Parabel schneiden und den positiven x-Wert der Lösung nehmen. Da bekomme ich: $\begin{eqnarray} x= \frac{4+4 \cdot \sqrt{6}}{5} , y =-2 \end{eqnarray}$ [attach]10532[/attach] Mich würden auch die anderen Lösungen interessieren. Ciao EDIT: Formel der Ableitung korrigiert
13.05.2009, 16:12	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab es jetzt doch hingekriegt ich hab auf einmal die erlösende Idee bekommen also bei mir landet die Kugel rund 2,76 m von a entfernt. Und ich hab es zeichnerisch gelöst. Es war eigentlich gar nicht so s chwer zuerst hab ich aus der Gleichung y=-5/8x² + x die Gleichung y=-5/8 (x-0,8) + 0,4 gemacht und somit den Scheitel S(0,8 l 0,4) bestimmt. Dann hab ich für x veschiedene Werte eingesetzt und die Parabel gezeichnet @Gualtiero: deine Lösung ist jedoch wesentlich eleganter und dein Bild ist schöner
13.05.2009, 16:43	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kääsee Du sollst es aber auch rechnen. Den Scheitel brauchst du allerdings nicht. Da die Gleichung der Parabel mit $\begin{eqnarray} y = -ax^2 + x \end{eqnarray}$ angegeben ist, muss man das Koordinatensystem entsprechend legen. Es ist also so anzunehmen, dass der Nullpunkt in der Hand des Werfenden liegt. Auf Grund der angegebenen Beziehung zwischen a und v ist $\begin{eqnarray} a = \frac{5}{8} \end{eqnarray}$ . Damit muss der Wurfwinkel von 45° bzw. die Tangenteneigenschaft NICHT noch extra abgehandelt werden! Nun suchen wir einfach auf der Parabel $\begin{eqnarray} y = -\frac{5}{8}x^2 + x \end{eqnarray}$ jenen Punkt, dessen x - Wert -2 beträgt: $\begin{eqnarray} -2 = -\frac{5}{8}x^2 + x \end{eqnarray}$ Die Auflösung der quadratischen Gleichung ergibt einen positiven und negativen Wert. Selbstverständlich ist hier nur die positive Lösung sinnvoll: $\begin{eqnarray} x = \frac{4(1 + \sqrt6)}{5} \approx 2,76 \end{eqnarray}$ mY+
13.05.2009, 19:18	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos: danke die Gleichung -2=-5/8x² + x hatte ich auch schon, ich hab allerdings nicht gewusst, wie man sie nach x umstellen kann. Das x² hat mich irritiert... kannst du es mir vielleicht nochmal in Einzelschritten erklären? So was hatten wir noch nicht und ich wäre nur so weit gekommen: x=5/8x² - 2 danke
13.05.2009, 20:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eine quadratische Gleichung, die letztendlich aufzulösen ist; nach x umstellen kann man das nicht direkt, sondern entweder über die quadratische Ergänzung oder eine Formel (p-q oder abc-Formel). In diesem Fall lautet die Gleichung $\begin{eqnarray} -2 = -\frac{5}{8}x^2 + x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5x^2 - 8x - 16 = 0 \end{eqnarray}$ abc-Formel: $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 320}}{10} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{6}}{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
14.05.2009, 16:09	Kääsee	Auf diesen Beitrag antworten »
ok... noch nie was davon gehört wahrscheinlich hat deshalb unser Lehrer gesagt, dass wir sie noch zeichnerisch lösen sollen.

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