Gleichungsysteme mit Formvariablen

12.05.2009, 19:03	MatheSeb	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungsysteme mit Formvariablen Guten Tag an alle! Habe mal eine bzw. ein paar Fragen. Evtl. kann mir ja jemand weiter helfen bzw. nen Tip geben. Ich mach derzeit bei der ILS meine FH-Reife Technik und habe oft Probleme mir Mathe beizubringen. Die Ansprechpartner brauchen dort immer sehr lange für eine Antwport und ich hoffe, das man mir evtl. hier schneller helfen kann. Natürlich werde ich, soweit es mir möglich ist auch versuchen anderen zu helfen, aber ich fürchte das dauert noch ein wenig :-) Aber nun zur Frage: Im Moment geht es um "Lineare Gleichungen in zwei Variablen". Bzw. "Gleichungen mit Formvariablen" Also ich habe es so verstanden, das es dort neben den "normalen" Variablen wie x,y,z auch sog. Formvariable in den Gleichungen geben kann, wie etwa a,b,c. Hat man jetzt z.B. die Beiden Gleichungen, ax+ y = 0 x -ay = 1 ,so ist bei Vorbereiten der beiden Gleichungen z.B auf das Additionsverfahren, Vorsicht geboten. Wenn man z.B die obere Gleichung mal a Multipliziert muss man genau festlegen was a sein darf. Ist das soweit richtig? Und wenn ja, wie und wann mache ich diese Fallunterscheidung dann bzw. wie und wo schreibe ich das in der Rechung auf? Vieln Dank im Vorraus und einen schönen Nachmittag! Gruß Sebastian
13.05.2009, 00:35	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Grund deiner nicht gerade diplomatisch gewählten Signatur bearbeite ich deinen Beitrag nicht. mY+
13.05.2009, 04:01	MatheSeb	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoffentlich so besser
13.05.2009, 11:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke! Es stimmt, dass bei Formvariablen immer eine Fallunterscheidung durchzuführen ist. In deiner Gleichung kann von vornherein der Fall a = 0 untersucht werden, denn dann gilt x = 1 y = 0 In der weiteren Rechnung ist dann $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt. Prinzipiell werden die Formvariablen in den Gleichungen so wie jede andere Zahl, also als Konstanten, behandelt. Bei den sich bei der Auflösung des Systemes ergebenden Rechenoperationen (Division) sind dann die weiteren Fallunterscheidungen vorzunehmen. $\begin{eqnarray} a^2x + ay = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x - ay = 1 \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} x(a^2 + 1) = 1 \end{eqnarray}$ Hier kann ohne weitere Fallunterscheidung dividiert werden, denn der Divisor ist (im Reellen) immer ungleich Null. ____________________________ Setzen wir den Fall einer etwas anderen Angabe und es käme $\begin{eqnarray} a^2x + ay = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x - ay = 1 \end{eqnarray}$ ------------------------------------- $\begin{eqnarray} x(a^2 - 1) = 1 \end{eqnarray}$ Dann gilt Fall a) (Klammer = 0) $\begin{eqnarray} a^2 = 1 \ \to a = \pm 1 \end{eqnarray}$ a = 1 x + y = 0 -x -y = 1 -------------- L = {} [keine Lösung] a = -1 x - y = 0 -x + y = 1 -------------- L = {} [keine Lösung] Fall b) (Klammer ungleich Null, die Division ist dann möglich) $\begin{eqnarray} a^2 \neq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{1}{a^2-1} \ \text{und} \ y = -\frac{a}{a^2-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ mY+
18.05.2009, 10:12	MatheSeb	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, vielen Dank! :-) Bin aber leider schon wieder über zwei Sachen gestoplert. 1.) Habe die Aufgabe aus meinem Studienheft mal hochgeladen (hoffe, das hat geklappt). [attach]10561[/attach] Dort geht es wieder um zwei Gleichungen mit versch. Variablen. Die erste Gleichung hat für mich aber keinen ersichtlichen y-Wert oder steht dort ausgeschrieben: $\begin{eqnarray} ax+0y=a \end{eqnarray*}$ Naja, auf jeden Fall wird die obere Gleichung nur enmal durch a geteilt und somt nach x aufgelöst. Und dieser x-Wert ist dann auch gleich er x-Wert der Lösung. Das versteh ich nicht. Muss der dann nicht noch einmal eingesetzt werden, oder warum kann man den sofort als Lösung "nutzen". 2.) Bei diesen Aufgaben soll ich zur Lösung der Gleichungen selber entscheiden, ob ih lieber das Determinationsverfahren nutzen soll oder mit Additionsverfahren und co. vorgehen soll. Wie entscheide ich das den am Anfang am besten? Und muss ich die Gleichung dann in eine bestimmt Form bringen, damit ich das Determinationsverfahren anwenden kann? Vielen Dank für die Hilfe schon im Vorraus und eine schöne Wochen Gruß Sebastian
18.05.2009, 12:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo; ich habe dein Bild etwas verkleinert, die Farbtiefe reduziert und als GIF gespeichert; dadurch ist es wesentlich kleiner und erscheint schon in der Vorschau gut aufgelöst. In dem gegenständlichen System fehlt in der ersten Gleichung die Variable y. Das kann schon mal als Glücksfall bezeichnet werden, denn dann ist bereits nach x auflösbar. Die Lösung für x wird in die 2. Gleichung eingesetzt und danach nach y aufgelöst. Fertig. Du musst verstehen, in dem Moment, wo x = ... erreicht ist, liegt doch bereits eine Lösung vor! Mit dieser gehst du in die zweite Gleichung hinein und erreichst so dann y. ________________ Allerdings ist - wie du vielleicht selbst siehst - der Lösungsweg unvollständig. Was fehlt? Die Diskussion der Formvariablen (Fallunterscheidung). Kannst du dies - zur Übung - wie in der vorigen Aufgabe gezeigt, nun selbst zu Ende führen? _________________ Wenn du ein System mittels der Cramer'schen Regel (--> Determinantenmethode) lösen willst, sollen die Gleichungen in der Form ax + by = c dx + ey = f vorliegen. Denn dann können die Koeffizienten direkt in die Determinanten eingesetzt werden. Im Falle $\begin{eqnarray} ax = 1 \end{eqnarray}$ .. [Ja, der Koeffizient von y ist 0, richtig! -> ax + 0y = 1] $\begin{eqnarray} ax + by = a \end{eqnarray}$ ----------------------- ist $\begin{eqnarray} D = \begin{vmatrix} a & 0 \\ a & b \end{vmatrix}; \ D_x = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ a & b \end{vmatrix}; \ D_y = \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & a \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Aber auch hier ist natürlich eine Diskussion der Formavariablen anzuschließen. mY+
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