Komplexe Zahl in Polarkoordinaten

12.05.2009, 19:11

anne007

Komplexe Zahl in Polarkoordinaten

Hallo,

ich soll die komplexe Zahl z = x + iy in Polarkoordinaten schreiben.

Ich habe das so gemacht:

z = e^(i*phi) = r*( cos(phi) + i*sin(phi) )

wobei r = sqrt( x² + y²) und

phi = arctan(b/a) (wenn z im 1. Quadrant)
phi = -arctan(b/a) (wenn z im 2. Quadrant)
phi = arctan(b/a) + PI (wenn z im 3. Quadrant)
phi = arctan(b/a) + 2PI(wenn z im 4. Quadrant)

Ist das die Polarform??

13.05.2009, 00:15

frank09

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Zitat:

z = e^(i*phi) = r*( cos(phi) + i*sin(phi) )

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} e^{i\phi}= cos\phi+isin\phi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow re^{i\phi}= r(cos\phi+isin\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} re^{i\phi} \end{eqnarray*}$ ist die Polarform

$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(y/x) \end{eqnarray*}$ (wenn z im 1. Quadrant)
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(y/x)+\pi \end{eqnarray*}$ (wenn z im 2. Quadrant)
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(y/x) + \pi \end{eqnarray*}$ (wenn z im 3. Quadrant)
$\begin{eqnarray*} \phi = arctan(y/x) + 2\pi \end{eqnarray*}$ (wenn z im 4. Quadrant)

13.05.2009, 08:53

anne007

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hmmm okay,

und wenn ich jetzt zu z noch e^(i*phi) dazumultipliziere, dann verdoppelt sich doch nur der winkel phi, so das die komplexe zahl so aussieht:

r*e^(2*i*phi) = r*( cos(2*phi) + i*sin(2*phi) )

??

13.05.2009, 11:53

mYthos

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RE: Komplexe Zahl in Polarkoordinaten
Ja, so ist das richtig, es ist nichts anderes, als die Formel von Moivre.

Aber das Folgende stimmt nicht:

Zitat:

Original von anne007

z = e^(i*phi) = r*( cos(phi) + i*sin(phi) )

wobei r = sqrt( x² + y²) und
...

Denn vor die e-Potenz gehört ebenfalls das r !

$\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \varphi} = r\cdot(\cos \varphi + i \sin \varphi) \end{eqnarray*}$
______________________________________

Die Euler'sche Relation lautet nämlich alleine:

$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi \end{eqnarray*}$

mY+

13.05.2009, 14:28

anne007

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ahja stimmt danke @ mythos und frank09

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