Die Ableitung an einer Stelle x0

12.05.2009, 20:33

EhEgal

Die Ableitung an einer Stelle x0

Hallo matheboard.de-user,

wir behandeln zur Zeit im Unterricht die Differenzierbarkeit der Funktion f an der Stelle x0 und ich muss gestehen, dass ich erhebliche Probleme damit habe. (Es liegt nicht nur an mir, meine Lehrerin scheint es irgendwie nicht wahr haben zu wollen, dass manche Schüler nicht alles auf Anhieb in ihrem Unterricht verstehen beziehungsweise akzeptiert das überhaupt nicht...)

Zur Hausaufgabe habe ich nun eine Nummer aufgegeben bekommen, mit der ich überhaupt nicht klar komme, was bedeutet, dass ich nichtmals auf einen ersten Ansatz komme. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zitat:

Untersuchen Sie die Funktion f an der Stelle x0 auf Differenzierbarkeit.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{(x²-1)²} ; x0=1 \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass ich zuerst in die Formel für den Differenzquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x0)}{x-x0} \end{eqnarray*}$ einsetzen muss. Ich weiß, das klingt ziemlich blöd, aber schon das Einsetzen bereitet mir Probleme, da ich das in den Beispielaufgaben überhaupt nicht nachvollziehen kann.

Dennoch möchte ich meinen Versuch einmal posten:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(x²-1)²}-1 }{x-1} \end{eqnarray*}$
Vorrausgesetzt sowohl meine Idee die Aufgabe anzugehen als auch das Eingesetzte ist korrekt, wuerden sich Wurzelzeichen und das hoch zwei doch aufheben, oder?

PS: Ich hoffe, dass ich das hier im richtigen Bereich poste,
PPS: Google hat mir eher ein Brett vor den Kopf gehalten anstatt zu helfen.

13.05.2009, 00:36

erdnuss

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Du hast im Zähler des Differenzquotienten f(x)-f(x0) stehen. Was ist denn f(x0)? rechne das nochmal nach :-)

Ja, das Wurzelzeichen und das ()^2 heben sich auf.

Gruß

13.05.2009, 00:52

domelius

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdnuss
Ja, das Wurzelzeichen und das ()^2 heben sich auf.

In diesem Fall stimmt das leider nicht und genau hier ist der Haken bei der Aufgabe, weil $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}= \mid a \mid \end{eqnarray*}$ . An den Stellen -1 und 1 ist die gegebene Funktion nicht differenzierbar, da die linke und die rechte Ableitung nicht identisch sind.

13.05.2009, 00:52

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Original von erdnuss

Ja, das Wurzelzeichen und das ()^2 heben sich auf.

Nein, das ist nicht richtig. Als Gegenbeispiel x = 1/2:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 1 \right)^2 } = \sqrt{ \left( - \frac{3}{4} \right)^2 } = +\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Aber wenn man so tut, als würden sich Quadrieren und Radizieren aufheben, erhält man

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 1 = -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Korrekt ist vielmehr:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(x^2 - 1\right)^2} = \left|x^2 - 1\right| \end{eqnarray*}$

Allgemein gilt die Regel

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = a \end{eqnarray*}$

nur für

$\begin{eqnarray*} a \geq 0 \end{eqnarray*}$

Betrachtet man alle reellen Zahlen, muss man schreiben

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2} = |a| \end{eqnarray*}$

13.05.2009, 07:07

EhEgal

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdnuss
Du hast im Zähler des Differenzquotienten f(x)-f(x0) stehen. Was ist denn f(x0)? rechne das nochmal nach :-)
Gruß

Ja, das ist mir gestern auch noch aufgefallen. Korrekt müsste es doch heißen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(x²-1)²} }{x-1} \end{eqnarray*}$

Mit der für mich neuen Erkenntnis, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}= \mid a \mid \end{eqnarray*}$ ist, habe ich $\begin{eqnarray*} \frac{\mid x-1 \mid }{x-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ für x>0 und $\begin{eqnarray*} \frac{-x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ für x<0 aufgeteilt. Dann bekomme ich 1 und -1 raus und schließe daraus, dass die Funktion f nicht differnezierbar ist. Ist das so richtig?

Danke für eure Hilfe bis hierher, echt 'ne super Sache.
Werde sofort reinschauen, wenn ich von der Schule zurück bin.

13.05.2009, 11:57

Jacques

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt noch nicht ganz. Zum einen hast Du das ² bei dem x vergessen. Dann hast Du die Klammer bei -(x² - 1) falsch aufgelöst. Und bei dem Betrag unterscheidet man zwischen den beiden Fällen

$\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} -1 \leq x < 1 \end{eqnarray*}$

Denn im obigen Fall gilt |x² - 1| = x² - 1

Im unteren |x² - 1| = -x² + 1

Würde die Fallunterscheidung tatsächlich bei x = 0 stattfinden, gäbe es doch gar kein Problem mit unterschiedlichen Grenzwerten.

Übrigens: Du musst bei (-x - 1)/(x - 1) irgendwie aus der Summe gekürzt haben, denn diesen Bruch kann man nicht kürzen.

$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \begin{cases} \displaystyle{\frac{x^2 - 1}{x - 1}}, & \textrm{falls } x \geq 1 \\[15pt] \displaystyle{\frac{-\left(x^2 - 1 \right) }{x - 1}}, & \textrm{falls } -1 < x < 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Die Brüche kürzt Du mithilfe der dritten binomischen Formel: x² - 1 = (x + 1)(x - 1). Und dann berechnest Du die einseitigen Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f_{\mathord{\uparrow}}^{\prime}\!\!(1) = \lim_{x \nearrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \nearrow 1} x + 1 = \mathord{?} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{\downarrow}^{\prime}(1) = \lim_{x \searrow 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \searrow 1} -x - 1 = \mathord{?} \end{eqnarray*}$

Dass die Funktion an den beiden Stellen -1 und +1 nicht differenzierbar ist, sieht man übrigens auch am Graphen.

Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left| x^2 - 1 \right| \end{eqnarray*}$

Die „innere Funktion“ hat die um 1 nach unten verschobene Normalparabel als Graphen. Beim Bilden der Beträge wird der negative Abschnitt -- er liegt zwischen -1 und +1 -- nach oben geklappt. Bei -1 und +1 entstehen zwei „Knicke“, die ja typischerweise zeigen, dass die Funktion dort nicht differenzierbar ist.

[attach]10518[/attach]

Neue Frage »

Antworten »

Die Ableitung an einer Stelle x0

Verwandte Themen