kontinuierliche Fouriertransformation einer Funktion

12.05.2009, 21:48	Kristin87	Auf diesen Beitrag antworten »
kontinuierliche Fouriertransformation einer Funktion Hi ich will die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = 4sin(3x) - 3/2sind(20x) + 1/2cos(100x) \end{eqnarray}$ fouriertransformieren. Die allgemeine Form lautet: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_a^b {f(x)e^{-ikx}dx} = F(x) \end{eqnarray}$ so jetzt habe ich f(x) einfach eingesetz und es stehen alle terme von f(x) multipliziert mit der e funktion unter dem Integral...aber wie löse ich das weiter auf?
13.05.2009, 00:02	kaguya_hime	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute mal, Dir sind zwei kleine Fehler in der Formel für die Fouriertransformierte unterlaufen. Richtig ist $\begin{eqnarray} <br /> \hat f(k) = (2\pi)^{-1/2}\int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} \,dx<br /> \end{eqnarray}$ Da Du Sinus und Kosinus in Termen der komplexen Exponentialfunktion ausdrücken kannst, brauchst Du nur die Fouriertransformation von $\begin{eqnarray} g \colon x \mapsto e^{ilx} \end{eqnarray}$ . Es gilt $\begin{eqnarray} <br /> \hat g = \sqrt {2\pi} \delta_l,<br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \delta_l(k) = \delta(k-l) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ die Diracsche Deltadistribution ist. Die Herleitung der Fouriertransformation von exp(ilx) ist etwas komplizierter, dürfte aber in den meisten Lehrbüchern zum Thema stehen.
13.05.2009, 14:33	Kristin87	Auf diesen Beitrag antworten »
also das habe ich jetzt glaube nicht verstanden... du meinst das ich die cosinus und sinus terme so umformen kann, das dann die exp entsteht und wenn man diese integriert kommt man auf die dirac-impulsfunktion?
13.05.2009, 18:15	kaguya_hime	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das. ^____^ Vielleicht nochmal der Reihe nach: Die Fouriertransformierte der konstanten Funktion 1 ist $\begin{eqnarray} <br /> \hat 1 = \sqrt {2 \pi} \, \delta.<br /> \end{eqnarray}$ (Wie gesagt, dies ist Standardstoff. Sie ergibt sich als Grenzfall aus der Fouriertransformation der Gauß-Kurve: $\begin{eqnarray} <br /> \widehat{e^{-x^2/4a}} = \sqrt{2a} e^{-ak^2} \qquad a>0)<br /> \end{eqnarray}$ Als nächstes benutze man die Regel $\begin{eqnarray} <br /> \widehat{e^{ilx}f}(k) = \hat f (k-l) \qquad l\in \mathbb{R},<br /> \end{eqnarray}$ um die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray} e^{ilx} \end{eqnarray}$ auszurechnen (s.o.). Und mit der Identität $\begin{eqnarray} <br /> \cos(lx) = \frac 1 2 (e^{ilx}+ e^{-ilx})<br /> \end{eqnarray}$ bestimmt man die Fouriertransformierte von cos(lx). Analog für sin(lx). Klar geworden?

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