eigenwerte

15.09.2006, 16:11

kingskid

eigenwerte

Hi!
in unsrem numerik-skript steht bei der wdh von ew folgendes:

Die Matrix A besitze den EW $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und es sei

$\begin{eqnarray*} q(t) = c_0 + c_1t + ... + c_mt^m \end{eqnarray*}$ ein Poly von Grad m.

Dann ist $\begin{eqnarray*} q(\lambda) \end{eqnarray*}$ ein EW von q(A).
Ein Bsp.:
$\begin{eqnarray*} \lambda^3 + 2\lambda -1 \end{eqnarray*}$ ist EW von A^3+2A-I.

Könnt ihr mir das bitte erklären?
Bedeutet das, dass man einen EW in irgendein polynom q einsetzt und das ergibt einen EW der Matrix, die entsteht, wenn man A in das Polynom einsetzt???

viele grüße

15.09.2006, 16:24

xrt-Physik

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Wenn A eine Matrix ist, diese vom lambda-Vielfachen der Einheitsmatrix subtrahiert wird und dann die Determinante davon berechnet wird,
entsteht ein Polynom:

$\begin{eqnarray*} p(\lambda) = det(A - \lambda E) \end{eqnarray*}$

Hier ist scheinbar I das lambda-Vielfache der Einheitsmatrix.
Und A^3+2A verändert die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix
nicht!

A muss eine 3x3-Matrix sein, damit ein Polynom 3.Grades entsteht.

15.09.2006, 16:25

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Für eine quadratische nxn-Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und die entsprechende nxn-Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} A^m-\lambda^mE = (A-\lambda E)(A^{m-1}+\lambda A^{m-2}+\cdots +\lambda^{m-2}A+\lambda^{m-1}E) \end{eqnarray*}$

und das für jedes positiv ganzzahlige $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ; für $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ ist sowieso $\begin{eqnarray*} A^0-\lambda^0E = E-E = 0 \end{eqnarray*}$ . Über Linearkombinationen gilt also auch für jedes Polynom $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Produktdarstellung

$\begin{eqnarray*} q(A)-q(\lambda)E = (A-\lambda E)\cdot Q(A,\lambda)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} Q(\cdot,\cdot) \end{eqnarray*}$ ein Matrixpolynom in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zund $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist. Und jetzt lass mal auf (*) die Determinante los...

15.09.2006, 16:26

JochenX

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l ist Eigenwert zu A zum Vektor x (<>0), wenn Ax=lx gilt.
Setze das also voraus.

Jetzt berechne mal q(A)*x..... benutze die Linearität von der Matrizenmultiplikation.

Ich hoffe, ich hab's jetzt gerade nicht zu einfach gedacht.....

15.09.2006, 18:38

kingskid

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vielen dank für eure erklärungen, ich versuchs mal so:

$\begin{eqnarray*} q(A)(x) = (q_m A^m+...+q_1A+q_0I)x =q_mA^mx+...+q_1Ax+q_0x \end{eqnarray*}$

hast du das so gemeint? und wie komm ich damit weiter?

und wenn ich z.B. den betragsmäßig größten EW von B = I+2A bestimmen soll, ist dann einfach $\begin{eqnarray*} 1+2 \lambda \end{eqnarray*}$ ein EW von B?

15.09.2006, 23:39

kingskid

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^m-\lambda^mE = (A-\lambda E)(A^{m-1}+\lambda A^{m-2}+\cdots +\lambda^{m-2}A+\lambda^{m-1}E) \end{eqnarray*}$

ich versteh das noch nicht ganz, warum gilt das?

und meinst du ich soll so die determinante berechnen...??

$\begin{eqnarray*} det(q(A)-q(\lambda)E) =det( (A-\lambda E)\cdot Q(A,\lambda)) \end{eqnarray*}$

??

16.09.2006, 00:59

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} q(A)(x) \end{eqnarray*}$

wieso denn "angewendet auf x"?

Ich hab's grad mal nachgerechnet, schwer ist es auf meinem Wege wirklich nicht (was nicht heißen soll, dass ich dir jetzt meinen Weg aufzwingen will), insbesondere zeigen wir etwas stärkeres.

gegeben: A Matrix, q(x) Polynom
zu zeigen: Ist d Eigenwert von A mit Eigenvektor v, dann ist q(d) Eigenwert von q(A) mit Eigenvektor v

Beweis (Anfang):
Sei $\begin{eqnarray*} q(X)=\sum~a_iX^i \end{eqnarray*}$ , außerdem gilt natürlich: $\begin{eqnarray*} Av=dv \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} q(A)v=q(d)v \end{eqnarray*}$ ....

und jetzt einfach mal links einsetzen und umformen.

Nutze für Eigenwertberechnungen oft: $\begin{eqnarray*} Av=dv => A^nv=d^nv \end{eqnarray*}$

16.09.2006, 02:09

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Zitat:

Original von kingskid

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^m-\lambda^mE = (A-\lambda E)(A^{m-1}+\lambda A^{m-2}+\cdots +\lambda^{m-2}A+\lambda^{m-1}E) \end{eqnarray*}$

ich versteh das noch nicht ganz, warum gilt das?

Ausmuötiplizieren, dann siehst du es - oder solltest es zumindest sehen.

Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} det(q(A)-q(\lambda)E) =det( (A-\lambda E)\cdot Q(A,\lambda)) \end{eqnarray*}$

Na ja doch: Und wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \det( (A-\lambda E)=0 \end{eqnarray*}$ , woraus durch diese Gleichung folgt, dass $\begin{eqnarray*} \det(q(A)-q(\lambda)E) =0 \end{eqnarray*}$ gilt, was wiederum bedutet, dass $\begin{eqnarray*} q(\lambda) \end{eqnarray*}$ EW von $\begin{eqnarray*} q(A) \end{eqnarray*}$ ist ...

Aber Jochens Weg gefällt mir besser: Der sagt nämlich gleich noch was über die zugehörigen Eigenvektoren aus - eine Aussage, die hier bei meinem Weg fehlt.

16.09.2006, 09:57

kingskid

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vielen dank für eure hilfe, dann versuch ichs nochmal_:

Zitat:

zu zeigen: Ist d Eigenwert von A mit Eigenvektor v, dann ist q(d) Eigenwert von q(A) mit Eigenvektor v
Beweis (Anfang):
Sei $\begin{eqnarray*} q(X)=\sum~a_iX^i \end{eqnarray*}$ , außerdem gilt natürlich: $\begin{eqnarray*} Av=dv \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} q(A)v=q(d)v \end{eqnarray*}$ ....Nutze für Eigenwertberechnungen oft: $\begin{eqnarray*} Av=dv => A^nv=d^nv \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} q(A)v = (a_0 I + a_1 A + a_2 A + a_3 A + ... + A^n) v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_0 I v + a_1 A v + a_2 A^2v+ a_3A^3v + ... + a_nA^n v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_0v + a_1 d v + a_2 d^2v+a_3d^3v + ... + a_n d^n v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =( a_0 + a_1 d + a_2 d^2 + a_3 d^3 + a_n d^n)v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = q(d)(v) \end{eqnarray*}$

cool, stimmt das so? dann hab ichs endlich gecheckt smile

16.09.2006, 10:20

JochenX

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Das ist richtig, da eben obiges gilt (was du vielleicht noch kurz zeigen solltest, wenn es dir nicht klar ist).
Prinzipiell empfehlen würde ich dir für sowas übrigens ganz allgemein eher die Schreibweise mit dem Summenzeichen (ähem, vielleicht mit Grenzen nicht wie ich oben ohne) als die Pünktchenschreibweise.

16.09.2006, 10:50

kingskid

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danke dir =)

okay, werds nächste mal mit summenzeichen versuchen...

hmm, ich hab das mal ausprobiert für n=2:

$\begin{eqnarray*} A^2 v = A A v = A d v = d A v = d^2 v = d^2 v \end{eqnarray*}$

ich weiß, ist kein beweis, aber vielleicht kann man das durch vollständige induktion weiter zeigen??

16.09.2006, 13:14

JochenX

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Diese Idee, den Skalar d (oder Lambda, wie immer du den nennen magst) (immer wieder) vorzuziehen ist ja eigentlich schon die Idee, die man haben muss.
Der Rest ist einfach (wenn du willst mit Induktion....).

Die "Umkehrung" der obigen Aussage gilt übrigens nicht (wenn man erstmal eine sinnvolle Umkehrung findet).

Vielleicht als Nachtrag noch ganz interessant.

17.09.2006, 10:08

kingskid

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hi!

danke für deinen nachtrag!

hab aber doch nochmal ne frage zu nem konkreten bsp., und zwar soll man den betragsmäßig größten ew von B = I + 2 A bestimmen, wobei $\begin{eqnarray*} A \in C^{3,3} \end{eqnarray*}$ die EW $\begin{eqnarray*} d_1= 3+4i \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} d_2= 3-4i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_3= 4 \end{eqnarray*}$ hat.

heißt das jetzt, dass 1+2d EW von I+2A ist?? unglücklich

oder wie funktioniert das hier?

viele grüße

17.09.2006, 12:05

JochenX

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na du bekommst B doch durch Einsetzen von A in das Polynom $\begin{eqnarray*} q(X)=2X+1 \end{eqnarray*}$
Jetzt hast du ja oben gelernt, dass für einen Eigenwert d q(d) ein Eigenwert von B ist.

Genau das hast du ja auch schon "vermutet", für jeden deiner 3 Eigenwerte d1 bis d3 bekommst du einen Eigenwert von B, als $\begin{eqnarray*} q(d_i) \end{eqnarray*}$ .
Mehr kann es hier dann auch gar nicht geben (beachte nämlich, dass du nicht unbedingt alle EW von q(A) auf diese Methode bekommst, aber da A schon "volle Eigenwertanzahl" hat.....).

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