Komplexes Integral

13.05.2009, 11:06

Fletcher

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Komplexes Integral

Guten Tag,

ich soll die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z^2+1} \end{eqnarray*}$ über den Kreis mit Mittelpunkt i und Radius 0,5 integrieren. Als Hinweis steht die Partialbruch zerlegung dabei. Es soll dann noch die Frage geklärt werden, ob die Funktion eine Stammfunktion besitzt oder nicht.

Da die Funktion bei i eine Singularität aufweist, kann man nicht mit dem Cauchy-Integralsatz argumentieren. Wenn man die Partialbruchzerlung ausführt erhält man folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_\Phi \frac{1}{z^2+1}~dz = \frac{1}{2i}\int_\Phi \frac{1}{z-i}- \frac{1}{z+i}~dz \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt die Parametrisierung $\begin{eqnarray*} \Phi(t)=i+0.5 e^{it} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ wählt, dann erhält man für das erste Integral einfach den Wert $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und für das zweite Integral steht noch da:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i}~\int_0^{2\pi} \frac{0.5ie^{it}}{2i+0.5e^{it}}~dt \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen, was ich damit mache? Kann ich nicht an dieser Stelle mit Cauchy argumentieren, denn hier ist ja die Stelle i keine Polstelle mehr?

Da das Integral insgesamt nicht Null wird, besitzt diese Funktion keine Stammfunktion. Korrekt???

13.05.2009, 14:06

Leopold

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Mache es, wie selbst vorgeschlagen: Wende auf das zweite Integral den Cauchyschen Integralsatz an.
Und diese Funktion besitzt keine Stammfunktion (wo? auf welchem Gebiet?). Korrekt.

13.05.2009, 19:24

Fletcher

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Was meinst du mit den Fragen "Wo?, Auf welchem Gebiet?"

Ich würde sagen, Sie besitzt keine Stammfunktion wenn man ein Gebiet wählt, wo der Punkt i oder -i drin liegt. Ansonsten würde Sie schon eine Stammfunktion besitzen.

Bei dieser Aufgabe spuckt Maple übrigens Null als Ergebnis aus. Dürfte ja eigentlich nicht sein.

13.05.2009, 19:56

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
Ich würde sagen, Sie besitzt keine Stammfunktion wenn man ein Gebiet wählt, wo der Punkt i oder -i drin liegt. Ansonsten würde Sie schon eine Stammfunktion besitzen.

Das ist falsch. Dann wäre dein Integral nämlich Null. Richtig wäre folgendes: "Die Funktion hat eine Stammfunktion auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, welches weder i noch -i enthält".

Zitat:

Original von Fletcher
Bei dieser Aufgabe spuckt Maple übrigens Null als Ergebnis aus. Dürfte ja eigentlich nicht sein.

Nein, ist es auch nicht. Das Ergebnis ist Pi.

14.05.2009, 21:02

Fletcher

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Zitat:

Original von WebFritzi
Richtig wäre folgendes: "Die Funktion hat eine Stammfunktion auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, welches weder i noch -i enthält".

Hierzu habe ich noch eine Frage, wir haben uns aufgeschrieben, dass genau dann eine Stammfunktion im Komplexen existiert, wenn für jede geschlossene stückweise glatte Kurve das Kurvenintegral den Wert 0 ergibt. Nun haben wir hier offensichtlich eine geschlossene Kurve gefunden für die das Integral nicht 0 wird. Folglich dürfte doch keine Stammfunktion existieren. Sorry, ich verstehe natürlich auch deine Aussage, aber ich finde das passt nicht ganz zusammen.

Außerdem lautet die Frage genau: Besitzt die Funktion auf ihren Definitonsbereich eine Stammfunktion? Nun ja als Definitonbereich hat man ja die ganz komplexe Ebene ohne +i und -i. Also hier wäre die Antwort: Nein!

Grüße

14.05.2009, 21:05

Leopold

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Das paßt eben deshalb nicht zusammen, weil das immer vom betrachteten Gebiet abhängt. Darum: wo? auf welchem Gebiet?

Beispiel: $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ besitzt eine Stammfunktion auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} G_1 = \mathbb{C} \setminus [0,\infty) \end{eqnarray*}$ , aber keine auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} G_2 = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ .

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15.05.2009, 09:25

Fletcher

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Ich verstehe es dich.

Aber wenn es in der Aufgabe heißt auf ihrem Definitionsbereich, dann meint man ja offensichtlich die ganze komplexe Ebene ohne i und -i. Und auf diesem Gebiet besitzt sie ja wohl eine Stammfunktion oder nicht? Schwierig wird es nur dann wenn man Gebiete betrachtet, wo i oder -i enthalten ist.

Grüße Wink

Wink

15.05.2009, 12:35

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
Aber wenn es in der Aufgabe heißt auf ihrem Definitionsbereich, dann meint man ja offensichtlich die ganze komplexe Ebene ohne i und -i. Und auf diesem Gebiet besitzt sie ja wohl eine Stammfunktion oder nicht?

Schade, dass du meine Beiträge nicht liest...

Zitat:

Original von Fletcher
Schwierig wird es nur dann wenn man Gebiete betrachtet, wo i oder -i enthalten ist.

Nein, das wird nicht nicht schwierig, denn auf solchen Gebieten ist die Funktion nicht definiert. Man kann solche Gebiete also gar nicht betrachten.

16.05.2009, 11:21

Fletcher

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Ja okay.

Ich habe eben ein Problem, wenn das Integral über die obengegebene Kurve nicht verschwindet und dennoch eine Stammfunktion existiert. Das begreife ich einfach nicht. verwirrt

verwirrt

16.05.2009, 12:45

Leopold

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Eben weil das Integral über die geschlossene Kurve nicht verschwindet, gibt es keine Stammfunktion. Aber noch einmal: Du mußt das Gebiet nennen, für das die Nichtexistenz der Stammfunktion zutrifft. Und jetzt rede nicht um den heißen Brei herum. Nenne einfach das Gebiet - und fertig bist du.

16.05.2009, 14:31

Fletcher

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Es gibt keine Stammfunktion für alle Gebiete die i oder -i enthalten. Für alle anderen gibt es eine. So wie WebFritzi schon gesagt hat.

Zusammenfassend halte ich fest: Die Existenz der Stammfunktion hängt ab über welchen Gebiet ich die Funktion betrachte.

16.05.2009, 23:46

WebFritzi

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Zitat:

Original von Fletcher
Es gibt keine Stammfunktion für alle Gebiete die i oder -i enthalten. Für alle anderen gibt es eine. So wie WebFritzi schon gesagt hat.

Das habe ich nie gesagt. Es ist ja auch falsch. Und wieder zeigt sich, dass du die Beiträge der Helfer nicht richtig liest. Bist du eigentlich interessiert an Hilfe, oder sollen wir es doch lieber lassen?

Zitat:

Original von Fletcher
Zusammenfassend halte ich fest: Die Existenz der Stammfunktion hängt ab über welchen Gebiet ich die Funktion betrachte.

Das ist endlich mal etwas richtiges.

So, und jetzt lies nochmal in Ruhe alle Beiträge durch und beantworte Leopolds Frage (bzw. befolge dessen Aufforderung).

17.05.2009, 09:45

Fletcher

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Zitat:

Original von WebFritzi
Richtig wäre folgendes: "Die Funktion hat eine Stammfunktion auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, welches weder i noch -i enthält".

.

17.05.2009, 10:59

Leopold

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WebFritzi ist zwar schon so groß, daß er sich selber helfen kann. Da er vermutlich aber noch selig träumt, greife ich hier einmal ein.

Zitat:

Original von Fletcher

Zitat:

Original von WebFritzi
Richtig wäre folgendes: "Die Funktion hat eine Stammfunktion auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, welches weder i noch -i enthält".

.

Übrigens wäre es voreilig zu sagen, daß es auf nicht einfach zusammenhängenden Gebieten keine Stammfunktion gibt. So besitzt die Funktion $\begin{eqnarray*} g(z) = z^{-2} \end{eqnarray*}$ durchaus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{*} = \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion, obwohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{*} \end{eqnarray*}$ nicht einfach zusammenhängend ist.

Aber danach ist ja hier auch gar nicht gefragt. Und da du partout die Antwort nicht geben willst, sondern immer noch um den heißen Brei herumredest, gebe ich sie jetzt:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} \end{eqnarray*}$ besitzt auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \setminus \{ \pm \operatorname{i} \} \end{eqnarray*}$ keine Stammfunktion, da es einen geschlossenen Weg in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gibt, für den das Integral über $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ nicht verschwindet.

17.05.2009, 12:33

Fletcher

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Danke!! Ich habe wirklich um den heißen Brei geredet.... Hammer

Hammer

Gruß

Wink

17.05.2009, 14:17

WebFritzi

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Und vor allem die Beiträge nicht sorgfältig gelesen...

19.05.2009, 19:31

Fletcher

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Hier ist mal etwas Neues zu den komplexen Integralen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}\frac{Log(z+4)}{z^2+1}dz \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \alpha=3e^{it} ,t\in [0,2\pi] \end{eqnarray*}$

Man soll nun das Integral berechnen. In diesem Gebiet sind ja beide Polstellen enthalten, dh. sowohl i als auch -i. Ich kann also zwei kleine Kreise jeweils um die Polstellen bauen, sagen wir zwei Kreise mit Mittelpunkt i bzw. -i und Radius 1.
Dann bekomme ich in den äußeren Gebieten den Wert 0 nach Cauchy-Integrasatz aber wie mache ich dann weiter?

Schöne Grüße

20.05.2009, 10:55

Fletcher

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