kommutative Abbildungen

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
kommutative Abbildungen
Hi, it's me again

Seien folgende Abbildungen gegeben:


beta und alpha bijektiv, und das "Diagram" kommutativ.

z.z. g ist injektiv, gdw. f injektiv.

Sei g injektiv, dann ist durch bijektivität von beta , also injektiv.

Aus Kommutativität folgt und somit injektiv also f injektiv.

Richtig??
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Aus der Injektivität von folgt nicht einfach so die Injektivität von , da musst du noch etwas mehr machen!
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

okay,

also ich weiß


(i) (Injektivität von )
(ii) (Injektivität von )
(iii) (Surjektivität von )

Also ist es unmöglich, wegen (ii) dass

Angenommen f nicht injektiv, DANN FOLGT
Deshalb müssten existieren mit . Wegen (iii) nicht der Fall.
Und zwei Elemente in sind wegen injektiv stets verschieden und das impliziert welshalb wieder (ii) greift.

Also nicht f nicht injektiv.

So?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich zumindest kann dir nicht folgen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wahrscheinlich das Richtige, schreibst es aber so auf, dass es kaum jemand (außer dir) versteht.

Mache es klarer. Zu zeigen ist, dass aus auch folgt. Sei also . Verwende jetzt die Surjektivität von und danach die Injektivität von .
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche nochmal klar zu machen was ich meine

Vor.:


= mit g injektiv und bijektiv also injektiv

Beh.:
f ist injektiv.

Bew.:
Angenommen f nicht injektiv, dann gilt mit


wegen alpha bijektiv wegen injektiv

Also f injektiv

So?
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Das ist absoluter Unfug. Fange so an:

Seien x,x' aus X mit f(x) = f(x').

Zeige nun: x = x'.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ach bitte, bitte, sag mir doch mal was genau blödsinn ist und nicht einfach, das ist unfug, mach neu. Wie oft war ich denn schon an diesem Anfang??? Und was mach ich denn im letzten Schritt???
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

wegen alpha bijektiv wegen injektiv

Das stimmt doch so. Und also:



Grüßle,

Schmo
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk



Allein schon das... Wozu setzt du x = x'?

Fang jetzt bitte so an, wie ich es dir geschrieben hatte. Ansonsten habe ich keine Lust, dir weiterzuhelfen.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi

Zeige nun: x = x'.


ich denk das soll ich ich zeigen?

injektivität ist dann gezeigt, wenn aus folgt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und deswegen darfst du doch nicht gleich am Anfang annehmen, dass dies so ist. Du musst aus der Annahme f(x) = f(x') logisch folgern, dass x = x' gilt.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
injektivität ist dann gezeigt, wenn aus folgt.


Nein. Diese Implikation gilt für jede Abbildung f.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

ach verdammt. ja. oh. stimmt. andersrum. mensch. ja natürlich. f(x')=f(x) folgt x=x'.
oh man. entschuldige. es ist einfach genug für heute. ich mach die bücher zu und setz mich morgen wieder ran.

bis morgen smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist wohl besser. Ich wünsche dir einen geruhsamen Schlaf und viel Energie für morgen. Schläfer
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

In solch einem Fall halte ich es für sinnvoll, den ersten Schritt vorzumachen.

Das Diagramm sei also kommutativ (nicht die Abbildungen! das ist eine irreführende Verballhornung in der Überschrift des Strangs!), und zusätzlich seien die Abbildungen bijektiv. Es existieren also ihre Umkehrabbildungen und , ebenfalls bijektiv, wie bereits im Diagramm eingetragen.

[attach]10557[/attach]

Nun wird vorausgesetzt, daß injektiv ist. Zu zeigen ist, daß das dann auch für zutrifft.

Seien also mit . Wegen heißt das



Und indem man klammert, folgt wegen der Injektivität von daraus



Und wie geht es weiter?
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold. Sehr nett von dir, ich hab mir deinen Post jetzt aber noch nicht durchgelesen. Ich mach noch einen Versuch auf eigene Faust. Ich war gestern einfach in der Uhr. Das mit der Injektivität hab ich nämlich eigentlich ganz gut verstanden denke ich.

Also, die Voraussetzungen sollte mittlerweile klar sein.

Die Frage ist, ob f injektiv ist weil injektiv ist.

zz.:


(wegen injektivität von )


Daraus folgt also letztlich .

Grüßle,

Kevin

EDIT: @Leopold:

Das geht so weiter, dass durch die injektivität jeder einzelnen Abbildung und immer die gleichheit des arguments folgt bis zu x=x', was dann letztlich aus f(x)=f(x') folgte. Nicht war? Ich glaub, ich habs. smile
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Danke Leopold. Sehr nett von dir, ich hab mir deinen Post jetzt aber noch nicht durchgelesen. Ich mach noch einen Versuch auf eigene Faust. Ich war gestern einfach in der Uhr. Das mit der Injektivität hab ich nämlich eigentlich ganz gut verstanden denke ich.

Also, die Voraussetzungen sollte mittlerweile klar sein.

Die Frage ist, ob f injektiv ist weil injektiv ist.

zz.:


(wegen injektivität von )


Daraus folgt also letztlich .


Das ist OK so. Nur müsste noch die Injektivität von f o alpha gezeigt werden. Deswegen ziehe ich Leopolds Ansatz vor.


Zitat:
Original von schmouk
EDIT: @Leopold:

Das geht so weiter, dass durch die injektivität jeder einzelnen Abbildung und immer die gleichheit des arguments folgt bis zu x=x', was dann letztlich aus f(x)=f(x') folgte. Nicht war? Ich glaub, ich habs. smile


Ja, du hast es. Deine Erklärung ist richtig.
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