Umkehrfunktion harte Nuss

13.05.2009, 17:25

Anusha

Umkehrfunktion harte Nuss

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

f(x) = exp(x) + 2x

Ich soll dir erste und zweite Ableitung der Umkehrfunktion bilden.

Bloss ich komm einfach nicht auf die Umkehrfunktion... Hab schon etliche Ansaetze ausprobiert aber bin zu keiner Loesung gekommen. In Maple laesst sich zwar ne Loesung ausgeben, aber da wird die sogenannte LambertW Funktion benutzt. Aber da weder ich noch einer meiner Kommilitonen mit dieser Funktion etwas anzufangen weiss bin ich mir relativ sicher, dass es noch ne andere Loesung geben muss. Hat irgendwer nen Tip fuer mich?

mfg

13.05.2009, 17:26

papahuhn

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RE: Umkehrfunktion harte Nuss
http://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

13.05.2009, 17:41

Anusha

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Also wenn ich die Wikipedia Seite richtig verstanden hab, dann ist die 1. Ableitung der Umkehrfunktion nichts weiter als 1/f'(x) ?

Also in meinem Fall waere es einfach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^x + 2} \end{eqnarray*}$

13.05.2009, 18:27

Mathe_2010?

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Beachte aber das Argument in deiner Ableitungsfunktion.

Es ist nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{e^x+2} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} f'(f(x))=\frac{1}{e^x+2} \end{eqnarray*}$

Das kann man umwandeln in $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{e^{f^{-1}(x)}+2} \end{eqnarray*}$

Aber so bräuchte man wiederum die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x) \end{eqnarray*}$

Immerhin lassen sich mithilfe der zweiten Formel konkrete Werte für die Ableitung ermitteln: Willst du z.B. die Ableitung an der Stelle 2 berechnen, musst du schauen, für welchen Wert von x gilt: $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$
Nämlich:

$\begin{eqnarray*} 1=f(x)=e^x+2x \end{eqnarray*}$

Das ist erfüllt für x=0

Nun kannst du setzen:

$\begin{eqnarray*} f'(f(0))=\frac{1}{e^0+2} \Rightarrow f'(1)= \frac{1}{e^0+2}=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

13.05.2009, 18:57

Anusha

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Ah ok, das habe ich soweit verstanden... Genuegt es dann wenn ich als Ergebnis einfach die 2. Formel nehm, oder brauch ich dann fuer volle Punktzahl trotzdem die Umkehrfunktion ^^ Aber vielen Dank schon mal!

13.05.2009, 19:09

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathe_2010?
Beachte aber das Argument in deiner Ableitungsfunktion.

Es ist nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{e^x+2} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} f'(f(x))=\frac{1}{e^x+2} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \left(f^{-1}\right)'(f(x))=\frac{1}{e^x+2}. \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Den Fehler hast du öfter gemacht.

@Anusha: Welche zweite Formel?

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