Bogenlänge / logarithmische Spirale

13.05.2009, 21:52	bappi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlänge / logarithmische Spirale Hallo! Die Aufgabe lautet wie folgt: Seien $\begin{eqnarray} a, b, c \in \mathbb R, a < b, c \neq 0 \end{eqnarray}$ . Berechne die Bogenlänge des Stückes $\begin{eqnarray} f\mid_{[a,b]} \end{eqnarray}$ der logarithmischen Spirale $\begin{eqnarray} f : \mathbb R \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(t) := (\mathrm e^{ct} \cos t, \mathrm e^{ct} \sin t)^T \end{eqnarray}$ Existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{a\to -\infty} l\left(f\mid_{[a,0]} \right)) \end{eqnarray}$ ? Ich hab also erstmal die Bogenlänge von a bis b berechnet: $\begin{eqnarray} \|\| f'(t) \|\|^2 = \mathrm e^{2ct}(c\cos t - \sin t)^2 + \mathrm e^{2ct}(c\sin t + \cos t)^2 \end{eqnarray}$ Löst man die Binomischen Formel auf und wendet $\begin{eqnarray} \sin^2 t + \cos^2t = 1 \end{eqnarray}$ an, kommt man also auf $\begin{eqnarray} \|\| f' \|\| ^2 = \mathrm e^{2ct}(c^2+1) \end{eqnarray}$ Damit $\begin{eqnarray} l(f) = \int_a^b \mathrm e^{ct}\sqrt{c^2+1}\mathrm dt = \left. \frac{1}{c}\mathrm e^{ct}\sqrt{c^2+1}\right\|_a^b = \frac{1}{c}\sqrt{c^2+1}\left(\mathrm e^{bc} - \mathrm e^{ac}\right) \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt den Grenzübergang bilde: $\begin{eqnarray} \lim_{a\to -\infty}l(f\mid_{[a,0]}) = \lim_{a\to -\infty} -\frac{\mathrm e^{ac}}{c}\sqrt{c^2+1} = \begin{cases} \infty &, c < 0 \\ 0 &, c > 0\end{cases} \end{eqnarray}$ D.h. also der Grenzwert existiert nur für $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ . Wäre nett, wenn man jemand drüber schauen könnte, ob ich mich nicht verrechnet habe. Vielen dank
13.05.2009, 22:34	bappi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sehe gerade ich hab mich im letzten Schritt vertan, es muss natürlich $\begin{eqnarray} \lim_{a\to -\infty}l(f\mid_{[a,0]}) = \lim_{a\to -\infty} \frac{1-\mathrm e^{ac}}{c}\sqrt{c^2+1} \end{eqnarray}$ heißen. Damit ändert sich natürlich das Ergebnis, und man erhält ja wenn $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \frac{1-\mathrm e^{-ac}}{c}\sqrt{c^2+1} = \frac{\mathrm e^{ac}-1}{\mathrm e^{ac}c} \sqrt{c^2+1}= \left(\frac{1}{c} -\frac{1}{\mathrm e^{ac}c}\right)\sqrt{c^2+1}\to \frac{\sqrt{c^2+1}}{c} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \lim_{a\to -\infty}l(f\mid_{[a,0]}) = \begin{cases} -\infty &, c < 0 \\ \frac{\sqrt{c^2+1}}{c} &, c > 0\end{cases} \end{eqnarray}$ Der Grenzwert ex. also nur für $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ . Ich hoffe es stimmt jetzt alles .

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