Differentialgleichung 2. Ordnung lösen

13.05.2009, 23:27	Shady	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung 2. Ordnung lösen Hallo, ich stehe vor dem Problem, dass ich in Differentialgleichungen höherer Ordnungen lösen muss, aber wir irgendwie kein Lösungsverfahren dafür besprochen hatten ( ich schreib immer alles mit, also hab ichs auch nich verschlafen ^^ ) Die Gleichungen sehen so aus: $\begin{eqnarray} y'' + 2y(y')^{3}=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'' y^{3}=1 \end{eqnarray}$ Der Ansatz über Lösung mit konstanten Koeffizienten geht ja leider nicht, da die Ableitungen aufmultipliziert werden. Ich dachte, dass man zumindest bei der 2. vielleicht das y'' durch eine Konstante p ersetzen könnte und dann nach dem Ansatz des fehlenden x lösen, aber da scheitere ich dann an der Möglichkeit, ein 2. mal integrieren zu können. Über Lösungsansätze für die Gleichungen wär ich sehr dankbar
14.05.2009, 00:27	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung 2. Ordnung lösen Ich hoffe der Input hilft dir ein wenig, würde aber im Zweifel darauf warten, ob sich noch ein kompetenterer User zu deinem Problem äußert. $\begin{eqnarray} y'' + 2y(y')^{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{-y''}{y'^2}=2yy' \end{eqnarray}$ Die beiden Seiten kann man als Ableitungen auffassen: $\begin{eqnarray} \left(\frac 1{y'}\right)'=(y^2)' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow\frac 1{y'}=y^2+C \end{eqnarray}$ Vielleicht kommst du damit weiter. $\begin{eqnarray} y'' y^{3}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y''y'=\frac{y'}{y^3}\Rightarrow\frac 12(y'^2)'=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y^2}\right)'\Rightarrow y'^2=\frac{-1}{y^2}+C \end{eqnarray}$ Dann die Wurzel ziehen und weiterrechnen, würde ich vorschlagen.
17.05.2009, 14:56	Shady	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Auf die Umformung wär ich wohl nicht so schnell gekommen Aber jetzt hab ich ein anderes Problem bei a) da ja in der Gleichung kein x enthalten ist, setze ich $\begin{eqnarray} y' = p \end{eqnarray}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd x}=p \end{eqnarray}$ ich stell die Gleichung nach y um: $\begin{eqnarray} y=\left(C-\frac{1}{\dd y}\right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ durch ableiten erhalte ich dann: $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd p}=\frac{1}{\left(C-\frac{1}{p}\right)^\frac{1}{2}p^2} \end{eqnarray}$ dann setze ich $\begin{eqnarray} \dd y=p\dd x \end{eqnarray}$ ein und komme auf $\begin{eqnarray} \dd x=\frac{\dd p}{\left(C-\frac{1}{p}\right)^\frac{1}{2}p^3} \end{eqnarray}$ allerdings hab ich jetzt ein Problem beim intergrieren der rechten Seite ... und bei b) ergit sich ein ähnliches Problem: Gleichung nach y umstellen: $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{\left(C-p^2\right)^\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Ableiten: $\begin{eqnarray} \frac{\dd y}{\dd p}=\frac{p}{\left(C-p^2\right)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ und nach dem einsetzen von $\begin{eqnarray} \dd y=p\dd x \end{eqnarray}$ entsteht: $\begin{eqnarray} \dd x=\frac{\dd p}{\left(C-p^2\right)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ was sich auch nicht so einfach aufleiten lässt.
17.05.2009, 15:16	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der a) habe ich auch keine Idee, wie man explizit nach y auflösen kann. Mein Ansatz war wohl nicht so optimal. Bei der b) kann ich dir aber vielleicht helfen: $\begin{eqnarray} y'^2=\frac{-1}{y^2}+C\Rightarrow y'=\sqrt{\frac{-1}{y^2}+C}\Rightarrow \frac{\dd y}{\sqrt{\frac{-1}{y^2}+C}}=\frac{y\dd y}{\sqrt{Cy²-1}}=\dd x \end{eqnarray}$ Ich würde dann auf beiden Seiten die Integration durchführen und dann nach y auflösen. Ich muss zugeben, dass ich dein Vorgehen mit dem p nicht ganz verstehe, deshalb hoffe ich, dass sich noch ein anderer zu deinem Lösungsversuch äußert.i
19.05.2009, 20:45	Shady	Auf diesen Beitrag antworten »
danke nochmal für die Hilfe ^^ Die Aufgaben wurden heute in der Übung durchgesprochen und ich schreibe hier einfach mal den Lösungsweg hin, für alle, die das gleiche Problem haben. Man hat ja eine Funktion $\begin{eqnarray} f(y'', y', y) = 0 \end{eqnarray}$ das ganze substituiert man dann folgendermaßen: $\begin{eqnarray} u(x) = y' = \frac{\dd y}{\dd x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y'' = \frac{\dd u}{\dd x} \end{eqnarray}$ jetzt erweiter man folgendermaßen: $\begin{eqnarray} y'' = \frac{\dd u \dd y}{\dd x \dd y} = u(x)\frac{\dd u}{\dd y} \end{eqnarray}$ und das kann man jetzt in seine Differentialgleichung einsetzung für a) entsteht dabei $\begin{eqnarray} u(x)\frac{\dd u}{\dd y} + 2yu(x)^3 = 0 \end{eqnarray}$ und jetzt einfach mit den bekannten Methoden ausrechnen und fertig ^^

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