Satz zum L-Integral

14.05.2009, 08:58

Frooke

Satz zum L-Integral

Hallo, ich scheine irgendwo einen Denkfehler zu machen, aber ich kann ihn beim besten Willen nicht finden. Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mess- und integrierbar und $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die betreffende Sigma-Algebra und Mü das Mass. Dann gibt es einen Satz:

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0, \exists \delta >0 \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} \forall A \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(A)< \delta \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_A|f|\mathrm d\mu<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis des Satzes verwendet monotone Konvergenz und ich denke, dass das auch ohne gehen sollte. Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} f_n:=\min\left\{|f|,n\right\} \end{eqnarray*}$ ist eine positive Funktionenfolge, die gegen |f| konvergiert. Man findet also ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} ||f|-f_{n_0}| \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird, sagen wir epsilon durch 2. Dann ist

$\begin{eqnarray*} \int_A|f|\mathrm d\mu=\int_A(|f|-f_{n_0}+f_{n_0})\mathrm d\mu\leqslant\int_A||f|-f_{n_0}|\mathrm d\mu+\int_A f_{n_0}\mathrm d\mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leqslant\frac{\varepsilon}{2}\mu(A)+n_0\mu(A) \end{eqnarray*}$

Wenn jetz Delta geeignet gewählt wird, folgt doch die Behauptung ohne monotone Konvergenz, oder wo ist der Haken?

Besten Dank.

14.05.2009, 16:24

WebFritzi

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RE: Satz zum L-Integral

Zitat:

Original von Frooke
Man findet also ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} ||f|-f_{n_0}| \end{eqnarray*}$ beliebig klein wird.

Da ist der Haken.

EDIT: Wie konvergiert f_n denn gegen f (welche Art von Konvergenz liegt vor)?

14.05.2009, 17:32

Frooke

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RE: Satz zum L-Integral
Okay, danke. Die Konvergenz ist meines Erachtens punktweise, d.h. diese Abschätzung geht schief... Setzt man gleichmässige Konvergenz (EDIT: fast überall) voraus, würde der Satz aber ohne monotone Konvergenz auskommen, oder täusche ich mich schon wieder?

14.05.2009, 17:40

WebFritzi

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Wenn die Folge gleichmäßg konvergiert, dann ist deine Vorgehensweise natürlich richtig. Das tut sie aber im allgemeinen eben nicht.

Zitat: "Setzt man gleichmässige Konvergenz (EDIT: fast überall) voraus, würde der Satz aber ohne monotone Konvergenz auskommen"

Der Satz an sich kommt sowieso ohne monotone Konvergenz aus. Du meinst den Beweis, oder? Da kommst du offenbar nicht ohne den Satz von der monotonen Konvergenz aus. Dein Ansatz führt jedenfalls zu nichts.

14.05.2009, 17:48

Frooke

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Ja, den Beweis habe ich gemeint Hammer

... Vielen Dank für Deine Antwort smile

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