Regelfunktion

14.05.2009, 09:29

imag

Regelfunktion

Hallo
Ich hätte eine Frage: Es geht um folgende Aufgabe:
Beweise: Ist $\begin{eqnarray*} f:[a,b]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ monoton, so ist f eine Regelfunktion.
Muss ich das in monoton wachsend und fallend unterteilen? Die Definition der Regelfunktion ist mir klar, aber ich habe keine Ahnung wie ich das hier zeigen kann. Kann mir da jemand weiterhelfen? Wäre sehr nett.

14.05.2009, 17:16

WebFritzi

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Die Grenzwerte sind hier Suprema bzw. Minima.

14.05.2009, 22:00

imag

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Gehören zu suprema nicht eher maxima?
Die Definition der Regelfunktionb lautet ja so:
Es sei $\begin{eqnarray*} [a,b]C \mathbb R \end{eqnarray*}$ und es sei $\begin{eqnarray*} f \in { f:[a,b] \to K} \end{eqnarray*}$ , f beschränkt} Dann heißt f eine Regelfunktion, falls Treppenfunktionen auf [a,b] existieren mit $\begin{eqnarray*} (\gamma_n) \end{eqnarray*}$ von Treffenfunktionen auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ existieren mit $\begin{eqnarray*} \|f-\gamma_n \parallel \to 0 (n\to \infty ) \end{eqnarray*}$
Heißt das dass der grenzwert $\begin{eqnarray*} \|f-\gamma_n \parallel \to 0 (n\to \infty ) \end{eqnarray*}$ ein suprema sein soll? Hab den Tipp nicht ganz verstanden.

14.05.2009, 22:16

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von imag
Heißt das dass der grenzwert $\begin{eqnarray*} \|f-\gamma_n \parallel \to 0 (n\to \infty ) \end{eqnarray*}$ ein suprema sein soll?

"Ein Supremum"! "Suprema" ist der Plural!

Eine Funktion ist genau dann eine Regelfunktion, wenn (sie beschränkt ist und) in jedem Punkt der links- und der rechtsseitige Grenzwert existiert. Eine monotone Funktion besitzt aber in jedem Punkt einseitige Grenzwerte.

14.05.2009, 22:35

imag

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Aber jede monotone Funktion ist doch eine Regelfunktion! das muss ich doch nur nachweisen. oder stehe ich jetzt auf dem schlauch?

15.05.2009, 00:41

Mathespezialschüler

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Ja, musst du. Falls du bereits weißt, dass eine beschränkte Funktion genau dann eine Regelfunktion ist, wenn alle einseitigen Grenzwerte existieren, dann habe ich dir einen Ansatz gegeben, wie du das machen kannst: Jede monotone Funktion ist beschränkt, besitzt alle einseitigen Grenzwerte und ist damit eine Regelfunktion.

15.05.2009, 10:01

imag

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Also ich habe die Definition von stückweise stetig un das bedeutet ja gerade, dass an allen Intervallenden der recht- bzw linksseitige Grenzwert existiert.
Dann zeige ich, dass für jede monoton wachsende Funktion der rechtsseitige Funktionswert existiert und das ganze zeige ich dann noch für den linksseitigen Funktionswert oder?
Reicht das?

15.05.2009, 12:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von imag
Also ich habe die Definition von stückweise stetig un das bedeutet ja gerade, dass an allen Intervallenden der recht- bzw linksseitige Grenzwert existiert.

Ja, aber das bringt dich hier nicht weiter, denn von stückweise stetig ist nirgends die Rede.

Zitat:

Original von imag
Dann zeige ich, dass für jede monoton wachsende Funktion der rechtsseitige Funktionswert existiert und das ganze zeige ich dann noch für den linksseitigen Funktionswert oder?
Reicht das?

Natürlich reicht das. So ist doch eine Regelfunktion definiert. Zeige einfach, dass in jedem Punkt sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert der Funktionswerte existiert.

22.05.2009, 09:42

imag

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Vielen Dank für die Hilfe!

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