Konvergenz nach Cesaro

14.05.2009, 12:23

Romaxx

Konvergenz nach Cesaro

Hallo,

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz nach Cesaro bzw. Poisson-Abel:

$\begin{eqnarray*} 1-2+3-4+5-...+n\cdot (-1)^{n-1}+... \end{eqnarray*}$

Nach Poisson-Abel ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Bei Cesaro hänge ich an der Stelle:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{S_1+...+S_n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-1+2-2+3-3...+(-1)^{n+1}\lceil \frac{n}{2}\rceil}{n} \end{eqnarray*}$

Ich würde sagen, der Grenzwert existiert hier nicht.

Laut einem Satz konvergieren aber Cesaro und Poisson-Abel gleichzeitig gegen den gleichen Grenzwert.

Jemand eine Idee?

Gruß

14.05.2009, 12:29

Frooke

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Was hast Du Dir denn dazu überlegt...?

Tipp:

Konvergenz nach Cesaro impliziert Konvergenz nach Poisson-Abel...

14.05.2009, 12:32

Romaxx

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Sorry, hatte meinen Beitrag zu früh abgeschickt.

Habe noch einiges editiert, siehe oben.

14.05.2009, 12:39

Frooke

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RE: Konvergenz nach Cesaro

Zitat:

Original von Romaxx

Ich würde sagen, der Grenzwert existiert hier nicht.

Wie begründest Du das? (Was ich damit sagen will... Du musst ein Argument dafür angeben, aber der Grenzwert existiert tatsächlich nicht).

14.05.2009, 12:45

Romaxx

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{S_1+...+S_n}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-1+2-2+3-3...+(-1)^{n+1}\lceil \frac{n}{2}\rceil}{n} \end{eqnarray*}$

Ich untersuche in diesem Fall normale Konvergenz.

Ich kann den Zähler verschieden klammern, so dass einerseits

$\begin{eqnarray*} 0+0+... \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} 1+1+... \end{eqnarray*}$

ensteht. Natürlich genau $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ viele Summanden bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gerade.

Damit ist der Grenzwert nicht eindeutig.

Gruß

14.05.2009, 12:48

Frooke

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Jetzt hast Du eben ein Beispiel, das zwar Poisson-Abel konvergiert, nicht aber Cesaro... Umgekehrt gilt die Implikation und die Grenzwerte stimmen, falls beide existieren, überein Freude

14.05.2009, 12:53

Romaxx

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Ach verdammt...

Jetzt wird mir was klar.

Ich hatte eine "genau, dann" Beziehung im Kopf und wunderte mich, warum Cesaro dann nicht funktioniert.

Okay danke, genau lesen sollte man können.

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