Folge in metrischem Raum mit diskreter Metrik

14.05.2009, 16:21

Nightfall

Folge in metrischem Raum mit diskreter Metrik

Hey zusammen!

Zur Zeit arbeite ich an folgender Aufgabe:

http://img10.imageshack.us/img10/7321/aufgabe3.jpg

Dabei habe ich die Teile 1,2 und 3 schon gelöst. Allerdings komme ich bei (4) nicht ganz weiter. Vielleicht könnt ihr mir ein wenig weiterhelfen...

Also es sind 2 Richtungen zu zeigen:

=> Sei also eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergent bezüglich d. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} x_n\longrightarrow x \end{eqnarray*}$ das heißt:
$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb N:d(x_n,x)<\epsilon\forall n\geq N \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac12 \end{eqnarray*}$ gibt es dann ein N für welches $\begin{eqnarray*} d(x_n,x)=0<\epsilon \end{eqnarray*}$ . Das heißt, dass $\begin{eqnarray*} x_n=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Gleiches gilt auch für ein $\begin{eqnarray*} m\geq N \end{eqnarray*}$ . Das heißt: $\begin{eqnarray*} x_m=x \end{eqnarray*}$ und daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} x_n=x_m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n,m\geq N \end{eqnarray*}$ .

Aber für die Rückrichtung fällt mir nichts ein. Aber, moment ... ich mein, das hört sich doch irgendwie nach Cauchy an. Also für Epsilon=1/2 würden ab N ja alle Folgenglieder gleich 0 sein, aber das ist doch schon Konvergenz, oder? Müsste man dann nicht nur zeigen, dass x=0. Hm vllt mit einer Umgebung von x?

14.05.2009, 16:28

WebFritzi

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RE: Folge in metrischem Raum mit diskreter Metrik

Zitat:

Original von Nightfall
Aber für die Rückrichtung fällt mir nichts ein.

Das ist schade, denn das ist eigentlich der triviale Teil der Äquivalenz.

14.05.2009, 16:34

Nightfall

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RE: Folge in metrischem Raum mit diskreter Metrik
Auf jeden Fall ist das schade Augenzwinkern

Vielleicht fällt seh ich das auch grad deswegen nicht... hmm. Ist denn irgendwas von dem richtig was ich für die Rückrichtung in meinem Brain-Wuust hingeschrieben habe?

14.05.2009, 16:59

tmo

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Wenn für eine Folge in irgendeinem metrischen Raum $\begin{eqnarray*} x_n=x_m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m,n \geq N \end{eqnarray*}$ (N beliebig, aber fest) gilt, dann konvergiert die Folge gegen $\begin{eqnarray*} x_N \end{eqnarray*}$ . Und zwar völlig egal um welchen metrischen Raum es sich handelt...

Und das ist trivial, wie WebFritzi schon sagte.

Dein Beweis für die eine Richtung ist so richtig. Vielleicht noch etwas anders aufschreiben...

14.05.2009, 17:06

Nightfall

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*DasBrettAbnehm* Oh, ja... das hatte ich völlig vergessen/außer Acht gelassen Hammer

Danke euch beiden. Und die andere Richtung schreibe ich natürlich noch etwas sauberer auf Augenzwinkern

Bis dann,
Nightfall

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