Stochastische und fast sichere Konvergenz von Summen und Produkten von Zufallsvariablen

14.05.2009, 16:47	Eli83	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische und fast sichere Konvergenz von Summen und Produkten von Zufallsvariablen Ich soll drei Dinge beweisen: 1. Konvergiert $\begin{eqnarray} (X_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ stochastisch gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Y_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ stochastisch gegen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} (X_{n}+Y_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergiert stochastisch gegen $\begin{eqnarray} X+Y \end{eqnarray}$ . 2. Konvergiert $\begin{eqnarray} (X_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ fast sicher gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (Y_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ fast sicher gegen $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} (X_{n}+Y_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergiert fast sicher gegen $\begin{eqnarray} X+Y \end{eqnarray}$ 3. und es gilt ebenfalls (gleiche Voraussetzung wie 2.): $\begin{eqnarray} (X_{n} \cdot Y_{n})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ konvergiert fast sicher gegen $\begin{eqnarray} X \cdot Y \end{eqnarray}$ . Hier meine Ansätze: zu 1.: die stochastische Konvergenz ist ja gegeben als: $\begin{eqnarray} \forall _{\epsilon > 0} \lim \limits_{n \to \infty}P({\omega \in \Omega ; \mid X_n(\omega) - X(\omega) \mid > \epsilon}) = 0 \end{eqnarray}$ , also müsste ich $\begin{eqnarray} P(\mid X_n+Y_n - (X+Y) \mid > \epsilon) \end{eqnarray}$ bestimmen und zeigen dass es immer kleiner gleich einem von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ abhängigen $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist, ich weiss nur nicht wie... zu 2.: müsste so ähnlich gehen wie 1. nur mit $\begin{eqnarray} P({\omega \in \Omega ; \lim\limits_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega)}) = 1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} P({\omega \in \Omega ; \lim\limits_{n \to \infty}(X_n(\omega)+Y_n(\omega)) = X(\omega)+Y(\omega)}) = 1 \end{eqnarray}$
15.05.2009, 23:23	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Eli83, das Schlagwort dürfte hier bei der 1. und 2. Dreiecksungleichung lauten. Versuche es mal damit! Viel Erfolg.
17.05.2009, 15:24	Eli83	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das könnte klappen. Danke.

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