Schreibweisen

14.05.2009, 19:58

Mensch123

Schreibweisen

Was bedeuten diese Schreibweisen? Bzw. wo kann ich solche Grundlagen nachlernen? (bitte seid konkret, nicht einfach "les doch ein Buch", weil ein Buch mit diesen Infos such ich seit Tagen...bin es einfach satt soviel Geld für Bücher auszugeben die immer viel zu viel Wissen voraussetzen und jeder zweite Satz "daraus folgt" ist, aber ohne ein nachfolgendes "weil")
Sry, falls ich im falschen Forum bin, das liegt in der Natur meiner Unverständnis denk ich unglücklich

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14.05.2009, 20:15

WebFritzi

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RE: Schreibweisen

Zitat:

Original von Mensch123
das liegt in der Natur meiner Unverständnis denk ich unglücklich

Aber Deutsch kannst du? Augenzwinkern

Stell konkrete Fragen. Woher sollen wir wissen, welche Schreibweisen du nun meinst?

14.05.2009, 21:08

Mensch123

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Wird der Anhang bei dir nicht angezeigt? Ich mein ziemlich alles was dort vorkommt. Was bedeutet Das Summenzeichen in Zusammenhang mit Pk UND Ln,k (was bedeutet L in Verbindung mit zwei unten angestellten Buchstaben?) Was bedeutet dann die Klammer (t) danach? Bezieht sich (t) auf Ln,k oder auf die gesamte Summe, oder auf jeden Teilbereich?
Was bedeutet dieses Symbol das so ähnlich aussieht wie die mathematische Summe?
Ich weiß grob was die Parameterschreibweise bedeutet, aber kann mir nicht vorstellen was für eine Auswirkung sie auf die Berechnung der Steigung in zb. tangente1 hat. Ist das überhaupt die Berechnung der Steigung? (df1(u)/dx)
Warum ist die erste Ableitung eines Kurvenpunktes gleich der Tangente an diesem Punkt?
Wie gesagt, wär auch schon froh (oder besser: wär mir sogar lieber) wenn ihr mir eine Quelle geben könntet die all diese Sachen ordentlich erklärt. (Buch am besten. Aber wirklich nur eins wo ihr euch sicher seid, hab schon knapp ~10 Bücher durchgesehen, und jedes bietet nur Teilerklärungen und obskure neue Abkürzungen)
Ich sag das ganz offen, ich bin nicht grade der Schnellste im Kapieren von mathematischen Sachen und habe viele Grundlagen nie ordentlich gelernt. Darum bin ich umso dankbarer für jede Hilfe!

14.05.2009, 21:14

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mensch123
was bedeutet L in Verbindung mit zwei unten angestellten Buchstaben? Was bedeutet dann die Klammer (t) danach? Bezieht sich (t) auf Ln,k oder auf die gesamte Summe, oder auf jeden Teilbereich?

Woher sollen wir das denn wissen? Da musst du halt schauen, als was das L bei dir definiert ist.

Das Zeichen, welches so aussieht wie ein Summenzeichen, ist übrigens ein Produktzeichen. Das ist halt genauso definiert wie das Summenzeichen, bloß mit "Mal" anstatt "Plus".

14.05.2009, 22:14

Mensch123

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Ich weiß dass ihr mir keine genaue Antwort geben könnt, ich will ja nur die Regeln wissen. Darum frage ich ja ganz allgemein was im allgemeinen Fall zwei Buchstaben, getrennt mit einem Beitstrich unter einer anderen Variable in diesem Zusammenhang bedeuten. (Bsp: Ln,k )
L und P sind in diesem Fall Punkte, sollte aber egal sein, weil ich ohnehin nur wissen will was die Schreibweise bedeutet, nicht was sie konkret bedeutet.

14.05.2009, 22:29

Mathespezialschüler

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Für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} k,n \end{eqnarray*}$ und gegebene Stützstellen $\begin{eqnarray*} t_i \end{eqnarray*}$ bekommt man ein Polynom $\begin{eqnarray*} L_{n,k} \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sind dabei nur Indizes, da man ja die Polynome nicht alle gleich benennen darf. Diese Polynome heißen Lagrange-Polynome zu den gegebenen Stützstellen.

Beispiel: Gegeben seien die Stützstellen $\begin{eqnarray*} t_0=0,t_1=2,t_2=-3,t_3=5 \end{eqnarray*}$ . Dann ist z.B.

$\begin{eqnarray*} L_{3,1}(t)=\frac{t-0}{2-0}\cdot\frac{t-(-3)}{2-(-3)}\cdot\frac{t-5}{2-5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{3,3}(t)=\frac{t-0}{5-0}\cdot\frac{t-2}{5-2}\cdot\frac{t-(-3)}{5-(-3)} \end{eqnarray*}$

und (wenn man z.B. die letzte Stützstelle weglässt)

$\begin{eqnarray*} L_{2,0}(t)=\frac{t-2}{0-2}\cdot\frac{t-(-3)}{0-(-3)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist dabei einfach nur ein Parameter, mit dessen Hilfe man die Funktionsvorschrift hinschreibt. Für ein festes $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} L_{n,k}(t) \end{eqnarray*}$ einfach der Wert der Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} L_{n,k} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Wie du siehst, stehen dort oben verschiedene Funktionen, denen man also auch verschiedene Namen geben muss. Und da man dafür zwei Parameter hat ( $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) schreibt man diese nunmal als Index an das $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ .

In der Summe wird dann von $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ summiert. Die Summanden sind die Produkte $\begin{eqnarray*} P_k\cdot L_{n,k}(t) \end{eqnarray*}$ . Das $\begin{eqnarray*} (t) \end{eqnarray*}$ bezieht sich dabei nur auf das $\begin{eqnarray*} L_{n,k} \end{eqnarray*}$ . Wenn man es ganz genau schreiben will, dann könnte man dies so tun:

$\begin{eqnarray*} P(t)=\sum_{k=0}^n~(P_k\cdot(L_{n,k}(t))) \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber nach den mathematischen Regeln überflüssig, denn das Anwenden einer Funktion hat Vorrang vor Verknüpfungszeichen, Multiplikation wiederum hat Vorrang vor Addition (Punkt- vor Strichrechnung!) usw..

15.05.2009, 08:47

Mensch123

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Aha, aber für ein Polynom brauche ich doch auch Koeffizienten. Die stehen nicht in der Formel dabei, so wie ich das sehe? Ooooder: Die Koeffizienten sind Pk. Das würde Sinn machen smile

Noch andere Unklarheiten: Was bedeutet es genau wenn ich sage dass die 2ten Ableitungen irgendeiner Funktion sich gleichen müssen? Die resultierende "Formel" muss exakt gleich aussehen nehm ich an?
Warum die Ableitung einer Funktion an einem Punkt, dessen Tangente ist, wär auch noch super zu wissen. Da gibts irgendeinen logischen Sprung den ich nicht mitmache :/
Aber du hast mir jetzt schon sehr geholfen!

15.05.2009, 12:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mensch123
Aha, aber für ein Polynom brauche ich doch auch Koeffizienten. Die stehen nicht in der Formel dabei, so wie ich das sehe? Ooooder: Die Koeffizienten sind Pk. Das würde Sinn machen smile

Nimm doch als Beispiel mal das erste Polynom L_{3,1}, welches Mathespezialschüler dir gegeben hat. Multiplizier das mal aus. Dann wirst du ein Polynom in einer dir bekannten Form erhalten. Mit Koeffizienten und allem drum und dran.

Zitat:

Original von Mensch123
Noch andere Unklarheiten: Was bedeutet es genau wenn ich sage dass die 2ten Ableitungen irgendeiner Funktion sich gleichen müssen? Die resultierende "Formel" muss exakt gleich aussehen nehm ich an?

Du solltest aufhören, in Formeln zu denken. Nicht alles in der Mathematik ist eine Formel. Eine Ableitung z.B. ist eine Funktion - keine Formel. Sie kann durch eine Funktionsvorschrift dargestellt werden. Das würde ich aber nicht "Formel" nennen. Mal ein Beispiel: f(x) = x + 5 und g(x) = x + 1. Die Ableitungen der beiden Funktionen gleichen sich, denn f'(x) = 1 = g'(x). Das bedeutet also einfach, dass die Funktionen f'(x) und g'(x) gleich sind.

Zitat:

Original von Mensch123
Warum die Ableitung einer Funktion an einem Punkt, dessen Tangente ist, wär auch noch super zu wissen. Da gibts irgendeinen logischen Sprung den ich nicht mitmache :/

Das stimmt nicht. Es gilt folgendes: "Die Ableitung einer Funktion in einem Punkt ist die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion in diesem Punkt." Warum das so ist, werde ich dir jetzt nicht erklären. Ich finde erstens, dass ein Hochschüler das sowieso wissen sollte. Und zweitens wird dieser Zusammenhang garantiert auf tausenden von Seiten im Internet erklärt und veranschaulicht. Schmeiß halt einfach mal Google an.

17.05.2009, 19:40

Mensch123

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Danke, ich habe das Polynom L3,1 durchgerechnet, da kam raus:
t³-2t²-15t / -30

Eine Division bei einem Polynom hab ich noch nie gesehen, ist das is Ordnung so?

Ich habe jetzt schon öfter gesehen dass im Internet von einer Reihe von Bernstein Polynomen umgewandelt wurde in 1 Reihenvektor * 1 Matrix * 1 Spaltenvektor.
Mir ist zwar klar dass das funktioniert, und warum man es macht. Aber nicht welche Methode man hier anwendet damit man diese Vektoren und Matrix schnell berechnen kann? Ich würde bloß im Kopf überlegen welche Multiplikation mit welchem Koeffizienten die richtige Lösung ergiebt, aber das wäre eine Art Hardcore Sudoku...bloß ein Pointer in die richtige Richtung wär wundervoll Gott

Die Steigung der Tangente am Graphen der Funktion ist doch genau dasselbe wie die Steigung am Punkt der Kurve. Kurve = Graph, und der Punkt sitzt auf der Tangente, also.. Könnte mich irren, gebs zu

18.05.2009, 01:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mensch123
Danke, ich habe das Polynom L3,1 durchgerechnet, da kam raus:
t³-2t²-15t / -30

Eine Division bei einem Polynom hab ich noch nie gesehen, ist das is Ordnung so?

Hi Mensch. Augenzwinkern

Nicht ganz. Du musst schon richtig klammern. Punkt- vor Strichrechnung! Es ist

$\begin{eqnarray*} L_{3,1}(t) = -\frac 1 {30}\cdot(t^3 - 2t^2 - 15t) = -\frac 1 {30}t^3 + \frac 1 {15}t^2 + \frac 1 2 t. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Mensch123
Ich habe jetzt schon öfter gesehen dass im Internet von einer Reihe von Bernstein Polynomen umgewandelt wurde in 1 Reihenvektor * 1 Matrix * 1 Spaltenvektor.

Das ist schon ziemlich speziell, und ich würde sagen, dass die wenigsten hier verstehen, was du damit meinst. Ich denke, es wäre sinnvoll, wenn du mal einen Link posten und dazu konkrete Fragen stellen würdest.

Zitat:

Original von Mensch123
Die Steigung der Tangente am Graphen der Funktion ist doch genau dasselbe wie die Steigung am Punkt der Kurve. Kurve = Graph, und der Punkt sitzt auf der Tangente, also.. Könnte mich irren, gebs zu

Joa, schon richtig. Ob man nun Graph oder Kurve sagt, ist ziemlich egal. Dein Fehler war oben, dass du das Wörtchen "Steigung" vergessen hattest. Deswegen habe ich dieses Wort auch fett hervorgehoben. Dachte, das wäre deutlich genug...

19.05.2009, 13:57

Mensch123

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Zitat:

Hier ein Bsp. mit einem kubischen Bezierspline:
B sind die Bernsteinpolynome, P sind die Kurvenpunkte bzw. Kontrollpunkte der Kurve und u ist sozusagen eine normalisierte Zeitvariable.
Der Schritt von den Polynomen oben nach unten ist mir nicht klar.
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19.05.2009, 23:56

Shady

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Hallo,

rechne doch mal die Bernstein-Polynome aus, dann wirst du merken, dass die Einträge der Matrix genau den Koeffizienten der Polynome entsprechen:

$\begin{eqnarray*} B_{0,3} (u) = -u^3 + 3u^2 - 3u + 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{1,3} (u) = 3u^3 - 6u^2 + 3u \end{eqnarray*}$

usw.

Wenn du mal die Matrix mit dem ersten Vektor multiplizierst, dann erhälst du gerade einen Vektor deiner Bernsteinpolynome:

$\begin{eqnarray*} \left( B_{0,3}(u), B_{1,3}(u), B_{2,3}(u), B_{3,3}(u)\right) \end{eqnarray*}$

und der Vektor mit dem Vektor deiner Punkte multipliziert, ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} B_{0,3}(u)P_{0} + B_{1,3}(u)P_{1} + B_{2,3}(u)P_{2} + B_{3,3}(u)P_{3} \end{eqnarray*}$

was genau deiner Summenformel entspricht Augenzwinkern

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