Noethersche Ringe

15.05.2009, 11:26

C.Pistorius

Noethersche Ringe

Hallo Ihr,

ich habe folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} M \subset \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ eine unendliche Menge von ganzzahligen n-Tupeln. Zeige, dass es immer eine endliche Menge $\begin{eqnarray*} \left\{ m_{1}, \dots , m_{k} \right\} \subset M \end{eqnarray*}$ gibt sodass jedes Element aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ als eine ganzzahlige Linearkombination von $\begin{eqnarray*} m_{1}, \dots , m_{k} \end{eqnarray*}$ darstellbar ist.

Meine Idee ist nun, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ ein noetherscher RIng ist und ich deshalb annehmen kann dass alle Untermodule endlich erzeugt sind und daher die obige Behauptung erfüllen. Kann ich denn zeigen, dass alle M Untermoduln sind, was denkt Ihr?

Liebe Grüße und danke
C.

17.05.2009, 01:15

Reksilat

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RE: Noethersche Ringe
Hi C.,

Die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist beliebig und damit bestimmt nicht immer ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ -Modul. Allerdings spannt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ immer ein Ideal auf. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 09:44

C.Pistorius

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Hi Du,

das ist ja mal ein toller Tipp!

Kann ich das dann so machen:

sein $\begin{eqnarray*} M \subseteq \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ beliebig. Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} (M) \end{eqnarray*}$ (Erzeugnis der Menge) wieder ein Ideal, es gilt $\begin{eqnarray*} M \subseteq (M) \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^n \end{eqnarray*}$ noethersch, muss es $\begin{eqnarray*} m_{i}, \dots , m_{j} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (M)=(m_{i}, \dots , m_{j}) \end{eqnarray*}$ , insbesondere gilt, dass alle Elemente von M über diese $\begin{eqnarray*} m_{i}, \dots , m_{j} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination zu erhalten sind.

Hast Du noch Ideen zu meinen anderen Problemen?

Lg C.

17.05.2009, 12:07

Reksilat

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Eine Kleinigkeit fehlt noch: In der Aufgabe ist gefordert, dass die $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen. Du hast bisher nur $\begin{eqnarray*} m_i\in (M) \end{eqnarray*}$ und das reicht noch nicht.

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 14:28

C.Pistorius

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mhm, du hast recht .. wie komme ich da weiter?

lg

17.05.2009, 14:36

Reksilat

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Was bedeutet es denn, dass $\begin{eqnarray*} m_i\in (M) \end{eqnarray*}$ liegt, sprich: wie lassen sich die Elemente aus $\begin{eqnarray*} (M) \end{eqnarray*}$ darstellen?

17.05.2009, 14:53

C.Pistorius

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nun, ein beliebiges $\begin{eqnarray*} m \in (M) \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination aus den $\begin{eqnarray*} m_{i} \end{eqnarray*}$ darstellen. Aber wie kann ich schließen, dass die $\begin{eqnarray*} m_{i} \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen müssen?

17.05.2009, 14:58

Reksilat

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Du hast oben geschrieben:

Zitat:

Original von C.Pistorius
Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} (M) \end{eqnarray*}$ (Erzeugnis der Menge) wieder ein Ideal

Aber was ist nun die genaue Definition von $\begin{eqnarray*} (M) \end{eqnarray*}$ ? Damit musst Du arbeiten.

18.05.2009, 19:43

C.Pistorius

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danke, es ist nun alles klar =)

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