Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)

15.05.2009, 13:33

peter_k

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Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)

Zeigen Sie, dass es zu jeder Matrix $\begin{eqnarray*} A\in SL(2;R)=\{A\in GL(2;R)|detA=1\} \end{eqnarray*}$ eine Matrix
$\begin{eqnarray*} D\in SO(2) \end{eqnarray*}$ so gibt, dass $\begin{eqnarray*} DA \end{eqnarray*}$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt?

--------------------

Meine erste Frage: Was genau heißt das $\begin{eqnarray*} A\in SL(2;R)=\{A\in GL(2;R) ...\} \end{eqnarray*}$
Das $\begin{eqnarray*} SO(2) \end{eqnarray*}$ heißt doch nur, dass D eine orthogonale 2x2-Matrix ist, oder?

17.05.2009, 01:18

Reksilat

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RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)
Hi peter,

$\begin{eqnarray*} A\in SL(2;R) \end{eqnarray*}$ bedeutet einfach nur, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix mit reellen Einträgen und der Determinante $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 11:53

peter_k

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Ok, danke.

Also weiß ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ij}\in R \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} detA=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{22} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = 1=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{22} \\ d_{21} & d_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d_{ij}\in R \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} detD=\begin{vmatrix} d_{11} & d_{22} \\ d_{21} & d_{22}\end{vmatrix}=1=d_{11}d_{22}-d_{21}d_{12} \end{eqnarray*}$

und aus der Aufgabenstellung folgt für das Produkt:

$\begin{eqnarray*} AD=\begin{pmatrix} a_{11}d_{11}+a_{12}d_{21} & a_{11}d_{12}+a_{12}d_{22} \\ a_{21}d_{11}+a_{22}d_{21} & a_{21}d_{12}+a_{22}d_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und z.z. gilt:

$\begin{eqnarray*} AD=\begin{pmatrix} a_{11}d_{11}+a_{12}d_{21} & a_{11}d_{12}+a_{12}d_{22} \\ 0 & a_{21}d_{12}+a_{22}d_{22}\end{pmatrix} \Rightarrow a_{21}d_{11}+a_{22}d_{21} = 0 \end{eqnarray*}$

Hier gilt dann:

$\begin{eqnarray*} det(AD)= (a_{11}d_{11}+a_{12}d_{21})(a_{21}d_{12}+a_{22}d_{22}) \end{eqnarray*}$

-------------------------------

Ist das soweit alles richtig?
Wie zeige ich das aber nun? Bringen mir die Determinanten etwas?

17.05.2009, 12:41

Reksilat

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Also was Du hier ja eigentlich machen musst, ist diese Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zu finden. Jetzt könnte man ein wenig probieren, und würde vielleicht sogar eine passende Belegung der $\begin{eqnarray*} d_{ij} \end{eqnarray*}$ finden, aber so löst man solche Aufgaben ja nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn man das Problem nämlich rein geometrisch betrachtet, kann man die Lösung in einer Zeile angeben. Dazu muss man sich nur zuerst klarmachen, was die Matrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ geometrisch darstellt.

Gruß,
Reksilat.

Anmerkung: Die Matrix $\begin{eqnarray*} DA \end{eqnarray*}$ soll eine Dreiecksmatrix sein, nicht $\begin{eqnarray*} AD \end{eqnarray*}$ .

17.05.2009, 13:09

peter_k

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Geometrisch...hm, also D und A spannen ja jeweils eine Ebene auf und stehen senkrecht aufeinander.

Also durch rechnen bin ich nun wie folgt auf D gekommen:

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das müsste doch richtig sein...Denn DA ist dann obere Dreiecksmatrix.

Aber wie ich das geometrisch erkennen soll weiß ich nich wirklich...

17.05.2009, 13:31

peter_k

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Ach nee....quatsch, die Spaltenvektoren von D stehen ja senkrecht aufeinander...hm, kacke.

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17.05.2009, 13:44

Reksilat

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Wieso spannen Matrizen eine Ebene auf? Nein, was ich meinte, war, was $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ für eine Abbildung ist - schließlich ist es ja keine stinknormale lineare Abbildung, sondern sie hat gewisse Eigenschaften. Es ist übrigens kein Zufall, dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ genau mit diesem Buchstaben bezeichnet wurde - oft hilft auch ein Blick auf Wikipedia. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 14:52

WebFritzi

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A bildet den ersten Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ auf einen Vektor v (ungleich Null) ab. Bilde diesen Vektor nun mit einer Orthogonalmatrix D ab auf $\begin{eqnarray*} |v|e_1. \end{eqnarray*}$

17.05.2009, 15:32

peter_k

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Ok, also D ist offensichtlich laut Wiki eine Drehmatrix...

@ Webfritzi:

$\begin{eqnarray*} e_1= (1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ae_1= (a_{11},a_{21}) =v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |v|=\sqrt{a_{11}^2 + a_{21}^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |v|e_1=\sqrt{a_{11}^2 + a_{21}^2} (1,0) \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, aber was ist nun zu tun? Etwa sowas?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d_{11} & -d_{21} \\ d_{21}& d_{11} \end{pmatrix} (a_{11},a_{21})^t=(\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2},0)^t \end{eqnarray*}$

Aber da komm ich auch nicht weiter verwirrt

verwirrt

17.05.2009, 16:01

Reksilat

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Richtig, eine Drehmatrix.

Einen Ansatz hattest Du ja weiter oben schon:
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen noch $\begin{eqnarray*} d_{11} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_{12} \end{eqnarray*}$ passend gewählt werden und die Matrix mit einem geeigneten Skalar multipliziert werden, damit $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ auch wirklich eine Drehmatrix ist.

Zusätzlich kannst Du Dir auch mal anschauen, was wir hier geometrisch machen: Wenn die erste Spalte von $\begin{eqnarray*} DA \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat, dann heißt das ja nur, dass der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ auf ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -faches von sich selbst abgebildet werden muss.
Wird $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf den Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abgebildet, so müssen wir mittels der Rotationsmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nur noch $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ wieder auf die Richtung von $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ drehen, wir erhalten den Vektor $\begin{eqnarray*} |v|\cdot e_1 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 17:02

peter_k

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hm....aber wan wann ist D denn eine Rotationsmatrix? Bei Wiki stehn da ja cos und sin drin.
Sorry, aber steh da irgendwie grad aufm Schlauch...

17.05.2009, 23:34

WebFritzi

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Der Vektor v schließe mit der positiven x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ein. Um welchen Winkel musst du den Vektor v drehen, um wieder ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ zu erhalten? Hierbei beantwortet sich auch die Frage nach der Eindeutigkeit von D.

18.05.2009, 12:08

peter_k

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Hm... da v ja nur ein Vielfaches von e1 ist, wieder um alpha? Kann das sein?

18.05.2009, 12:35

WebFritzi

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Nein. Vor allem ist v im allgemeinen kein Vielfaches von e_1. Wie kommst du nur darauf...

18.05.2009, 13:24

peter_k

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Sorry, ja hab mich verlesen. Aber wie komme ich denn auf diesen Winkel? Ich verstehe es einfach nicht, sorry...und hat denn D nun die Form ? :

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}d_{11} & d_{12} \\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls ja, wie bitte komme ich auf die Werte d? Stehen da sinus und cosinus - Werte?

18.05.2009, 13:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von peter_k
Stehen da sinus und cosinus - Werte?

Natürlich. D soll ja eine Drehmatrix sein.

Du hast im übrigen immernoch nicht meine letzte Frage beantwortet. So kommst du sicher nicht schneller voran.

__________________________________

EDIT: Man kann die Aufgabe auch viel allgemeiner lösen. Behauptung: "Zu jeder nxn-Matrix A gibt es eine orthogonale Matrix D, so dass der erste Spaltenvektor von DA ein Vielfaches des ersten Einheitsvektors ist."

Ist der erste Spaltenvektor von A der Nullvektor, so wähle man für D die Eingeitsmatrix. Sei das mal nicht so. Dann wähle man als ersten Zeilenvektor von D den Vektor

$\begin{eqnarray*} \frac{a_1}{|a_1|}, \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ der erste Spaltenvektor von A sei. Für die restlichen n-1 Zeilenvektoren von D wähle man irgendeine Orthonormalbasis von

$\begin{eqnarray*} \left({\rm span}\{a_1\}\right)^\perp. \end{eqnarray*}$

Fertig. Wie man sieht, spielt es auch keine Rolle, welchen Wert det(A) hat.

18.05.2009, 13:49

peter_k

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Zitat:

Original von WebFritzi
Der Vektor v schließe mit der positiven x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha\in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ ein. Um welchen Winkel musst du den Vektor v drehen, um wieder ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ zu erhalten?

Ok, also ich veruchs nochmal...ich stelle mir das so vor. $\begin{eqnarray*} e_1 = (1,0) \end{eqnarray*}$ liegt auf der x-Achse, da keiner widersprochen hat ergibt sich v mit:

$\begin{eqnarray*} v=(a_{11},a_{21}) \end{eqnarray*}$

Dieses v schließt nun mit der pos. x-Achse den Winkel alpha ein, ok...auch wenn ich den Verdacht habe, dass ich wieder falsch liege, denke ich mir dass es doch $\begin{eqnarray*} 360 -\alpha \end{eqnarray*}$ sein müsste.
Ist das nun richtig?

18.05.2009, 13:54

WebFritzi

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Oder einfach $\begin{eqnarray*} -\alpha, \end{eqnarray*}$ ja. Man dreht den Vektor $\begin{eqnarray*} v = Ae_1 \end{eqnarray*}$ also einfach wieder zurück. Eine weitere Möglichkeit wäre $\begin{eqnarray*} \pi - \alpha. \end{eqnarray*}$ Wie du den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ erhältst, kannst du z.B. unter

http://www.rither.de/a/mathematik/linear...tor-und-vektor/

nachlesen.

Schau dir übrigens auch mal mein obiges EDIT an.

18.05.2009, 14:15

peter_k

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Ok, danke dir!

Aber für meine Aufgabe ist das ja allgemein gehalten...sorry, dass ich das alles nur so langsam verstehe.
Ergibt sich nun D so?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(-\alpha) & -sin(-\alpha) \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.05.2009, 14:32

WebFritzi

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Nein.

$\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix}\cos(-\alpha) & -\sin(-\alpha)\\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von peter_k
Aber für meine Aufgabe ist das ja allgemein gehalten...

Hä? Setze einfach n = 2 und fertig.

18.05.2009, 15:01

peter_k

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Aber wenn D diese Gestalt hat, dann ist DA ja keine obere Dreiecksmatrix!?

18.05.2009, 15:54

WebFritzi

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Warum behauptest du nur andauernd falsche Sachen? unglücklich

unglücklich

Machen wir doch einfach mal ein Beispiel.

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Was sind jetzt v und alpha?

18.05.2009, 20:49

peter_k

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RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)

Zitat:

Original von Reksilat
Hi peter,

$\begin{eqnarray*} A\in SL(2;R) \end{eqnarray*}$ bedeutet einfach nur, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix mit reellen Einträgen und der Determinante $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus habe ich geschlossen, dass das für alle A={a_ij aus R} gelten muss...dem scheint nun aber doch nicht so zu sein. Also ich glaub dann hab ichs...danke!

19.05.2009, 02:07

WebFritzi

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RE: Beweis AD Dreiecksmatrix mit A e SL(2;R) und D e SO(2;R)

Zitat:

Original von peter_k

Zitat:

Original von Reksilat
Hi peter,

$\begin{eqnarray*} A\in SL(2;R) \end{eqnarray*}$ bedeutet einfach nur, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix mit reellen Einträgen und der Determinante $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus habe ich geschlossen, dass das für alle A={a_ij aus R} gelten muss...

Man versteht dich nicht.

Zitat:

Original von peter_k
Also ich glaub dann hab ichs...danke!

Wenn du's hast, dann schreib bitte deine Lösung für andere hier rein.

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