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15.05.2009, 17:24	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Gebiet Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} G:=\{(x,y,z)\in \mathbb R^3: y^2+z^2\neq 0\} \end{eqnarray}$ ein Gebiet im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist. Ich muss zeigen, dass ein stetiger Weg von x nach y existiert $\begin{eqnarray} x,y\in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha(0)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha(1)=y \end{eqnarray}$ aber wie gehe ich hier vor?
15.05.2009, 17:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn G? Beschreibe die Menge mal.
15.05.2009, 18:05	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge G sind alle Ebenen mit dem Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die nicht durch den Ursprung verlaufen. Richtig?
15.05.2009, 18:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nun ganz abwegig. Am besten überlegst du dir erst die Komplementmenge, also die Menge $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \setminus G \end{eqnarray}$ aller $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} y^2 + z^2 = 0 \end{eqnarray}$ . Schreibe dir doch einfach einmal konkret Punkte auf, die diese Bedingung erfüllen. Und zu $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kommst du dann durch Übergang zum Komplement.
15.05.2009, 18:22	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Bedingung wird doch für die Punkte $\begin{eqnarray} (x,0,0)\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ erfüllt. Also ist das die $\begin{eqnarray} x- \end{eqnarray}$ Achse und G wäre dann der ganze $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ohne die x-Achse.
15.05.2009, 18:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »

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15.05.2009, 18:24	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich hiermit gezeigt, dass G ein Gebiet ist?
15.05.2009, 18:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Du mußt noch zeigen, daß $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zusammenhängend ist. Jetzt kommt es darauf an, wie in der Vorlesung der Zusammenhang eingeführt wurde, topologisch als Unzerlegbarkeit in offene Teilmengen oder als Wegzusammenhang. In deinem ersten Beitrag steht etwas von einem stetigen Weg. Daher vermute ich, daß für euch Zusammenhang im Moment so viel wie Wegzusammenhang bedeutet. Und noch etwas fällt mir ein: Du mußt natürlich noch begründen, warum $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ offen ist. Aber das ist eigentlich offensichtlich.
15.05.2009, 18:31	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wir haben es als Wegzusammenhang definiert. Aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Wie kann ich denn da am besten vorgehen?
15.05.2009, 18:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du am einfachsten von irgendeinem Punkt von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ zu einem andern? Da kannst du doch die Strecke nehmen, es sei denn ...
15.05.2009, 18:34	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für den Tipp, habe jetzt leider Training und werde später noch drüber nachdenken. Hoffe du kannst morgen nochmal reinschauen.
16.05.2009, 12:33	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopold, ich kann mit deinem Tipp leider nicht viel anfangen. Wir wollen von einem Punkt aus G in einen anderen Punkt aus G. Ich könnte die Strecke nehmen, falls es stetig wäre oder?
16.05.2009, 12:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt ja nur einen Weg finden, der von einem Punkt zum anderen führt und dabei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ nicht verläßt. Und da kannst du doch immer die Strecke nehmen, außer wenn ...
16.05.2009, 12:51	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Außer wenn? Das ist die große Frage. Ich würde sagen außer, wenn die Menge G z.B eine Vereinigung von zwei disjunkten Mengen ist. Dann komme ich von der einen Seite nicht auf die andere ohne G zu verlassen.
16.05.2009, 13:38	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilde mal die Strecke durch die Punkte (0\|1\|1) und (0\|-1\|1)... Durch welchen Punkt geht die Strecke?
16.05.2009, 13:53	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Strecke ist 2 und die Strecke geht durch die y-Achse von 1 bis -1
16.05.2009, 15:56	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Und schneidet die x-Achse! Das wäre also kein Weg zwischen den 2 Punkten in G. Ist dir jetzt klar, was Leopold dir sagen wollte?
16.05.2009, 19:56	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet das denn dann? Das sollte bedeuten dass wenn ein Weg zwischen 2 Punkten, der die x-Achse schneidet, nicht als Strecke zugekassen wird. Worauf führt das hinaus?
16.05.2009, 20:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es bedeutet, daß, wenn die Strecke (!!) zwischen den beiden Punkten die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse schneidet, du nicht die Strecke (!!) nehmen kannst. Dann mußt du halt die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse umlaufen.
16.05.2009, 20:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Viele Wege führen nach Rom." Wenn du zwei Punkte P und Q miteinander duch einen Weg verbinden möchtest, so kannst du im allgemeinen die Verbindungsstrecke als Weg von P nach Q benutzen. Genau dann, wenn diese Strecke im R³ die x-Achse schneidet, musst du einen anderen Weg von P nach Q finden. Im Raum gibt es viele Wege, nicht nur Strecken. Nimm z.B. einen $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ - Schlauch um die x-Achse, das Wegstück der Verbindungsstrecke von P nach Q in diesem Schlauch kannst du durch einen Kreisbogen auf dem Rand des Schlauchs ersetzen. Oder nimm als Weg von vornherein einen Kreisbogen von P nach Q, z.B. einen Kreis um den Mittelpunkt der Strecke PQ mit Radius PQ/2. Wenn die Verbindungsstrecke die x-Achse schneidet, schneidet der Kreis sie nicht.
16.05.2009, 20:53	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh Gott, das verstehe ich was du sagst. Aber wie soll ich sowas formalisieren?
17.05.2009, 00:49	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist tatsächlich etwas frickelig. Versuch es einfach mal.
17.05.2009, 10:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Sabinee die Idee hinter der Aufgabe ist ja offensichtlich die, daß die Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ durch eine Gerade, z.B. durch die x-Achse, in zwei getrennte Gebiete (Halbebenen) zerlegt wird. Man kommt nicht von der einen Halbebene zur anderen Halbebene, ohne die Gerade zu überqueren, d.h. jeder Weg von P nach Q schneidet die Gerade. Der Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ dagegen wird durch eine Gerade nicht in zwei getrennte Gebiete zerlegt. Beweis durch Fallunterscheidung: Fall1. Wenn die Strecke PQ die x-Achse nicht schneidet, ist die Strecke PQ ein Weg von P nach Q. Fall2. Wenn die Strecke PQ die x-Achse schneidet, spannen x-Achse und Gerade PQ eine Ebene E1 auf. Sei E2 die zu E1 senkrechte Ebene so daß die Gerade PQ der Durchschnitt von E1 und E2 ist. Kreis um Mittelpunkt der Strecke PQ mit Radius d(P,Q)/2 in der Ebene E2 verbindet P und Q, ohne die x-Achse zu schneiden. Fertig. Anschaulich ist das doch auch klar, man hat 1961 in Berlin eine Mauer gebaut und nicht nur eine Linie auf den Boden gemalt, denn eine Trennlinie kann man im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ durch einen Schritt überwinden, ohne sie zu berühren. Ein Vogel hat auch mit der Mauer kein Problem, da braucht man schon mehrere ebene Elemente, um einen Käfig zu bauen, oder eine Ebene, die den Raum in zwei Halbräume zerlegt.
17.05.2009, 11:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gedanke mit der Berliner Mauer ist wirklich originell. Wie gut, daß Ulbricht und Konsorten keine Käseglocke über der DDR gebaut haben. Da hätte dann selbst ein Vogel Probleme bekommen.
18.05.2009, 03:23	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
http://matheplanet.de/matheplanet/nuke/h...hp?topic=122677
19.05.2009, 17:08	Sabinee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt irgendwie versucht, hoffe es war richtig Danke nochmal für eure Hilfe.

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