Eindeutigkeit von Grenzwerten unter verschiedenen Metriken

15.05.2009, 17:50

Kassiopeia

Eindeutigkeit von Grenzwerten unter verschiedenen Metriken

Hallo, meine Frage ist recht einfach gestellt, ich habe jedoch bisher leider keine Antwort bzw. Zugang zur Lösung bekommen/gefunden. Vielleicht könntet ihr mir weiterhelfen.
Auf einer Grundmenge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ seien zwei Metriken $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ definiert. Die metrischen Räume $\begin{eqnarray*} (X,\rho) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ brauchen dabei nicht vollständig zu sein und es gibt keinerlei Beziehung zwischen den Metriken (wie Äquivalenz oder so). Gibt es nun eine Folge, die in beiden Räumen bezüglich der jeweiligen Metrik konvergiert, der Grenzwert aber unterschiedlich ist, also zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} \{x_n\}_{n\geq 0}\subset X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \rho(x_n,a)\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x_n,b)\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für zwei verschiedene $\begin{eqnarray*} a,b\in X \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2009, 18:36

kaguya_hime

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Du kannst die "Positionen" zweier Punkte in einem metrischen Raum vertauschen allein durch Manipulation der Metrik:

Sei also $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} a,b\in X, \,a\neq b \end{eqnarray*}$ .

Setze für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X\setminus\{a,b\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho (a,x) := d(b,x) \\ \rho(b,x) := d(a,x) \\ \rho(x,y) := d(x,y) \end{eqnarray*}$

Was war noch gleich Deine Frage? Augenzwinkern

15.05.2009, 19:11

Elvis

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@Kassiopeia

Ja, das gibt es reichlich. Die p-adischen Beträge auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und alle ihre Erweiterungen auf algebraischen Zahlkörpern sind Beispiele.

15.05.2009, 19:31

WebFritzi

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Zitat:

Original von kaguya_hime
Du kannst die "Positionen" zweier Punkte in einem metrischen Raum vertauschen allein durch Manipulation der Metrik:

Sei also $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} a,b\in X, \,a\neq b \end{eqnarray*}$ .

Setze für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X\setminus\{a,b\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho (a,x) := d(b,x) \\ \rho(b,x) := d(a,x) \\ \rho(x,y) := d(x,y) \end{eqnarray*}$

Das ist dann aber keine Metrik mehr.

16.05.2009, 00:19

kaguya_hime

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Ich habe einige Fälle nicht aufgezählt, $\begin{eqnarray*} \rho(a,b) := d(a,b) \end{eqnarray*}$ sowie alle Fälle, die sich direkt aus der Symmetrie und Reflexivität ergeben. ^__^

Vielleicht eine etwas allgemeinere Behauptung, wovon obige Konstruktion ein Spezialfall ist:
Sei $\begin{eqnarray*} f\colon X \to X \end{eqnarray*}$ eine
Bijektion. Dann ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \rho(x,y) := d\bigl(f(x),f(y)\bigr) \end{eqnarray*}$ eine Metrik
und $\begin{eqnarray*} f\colon (X,\rho) \to (X,d) \end{eqnarray*}$ eine Isometrie zwischen metrischen Räumen.

16.05.2009, 19:27

Kassiopeia

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Vielen Dank für die vielen Antworten in so kurzer Zeti!

@Elvis

Das heißt zum Beispiel, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \{x_n\}_{n\geq0}=3^n \end{eqnarray*}$ als reelle Zahlenfolge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_3 \end{eqnarray*}$ bezüglich der dortigen Metrik gegen $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_5 \end{eqnarray*}$ als konstante Folge gegen $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ konvergiert?

16.05.2009, 20:31

Elvis

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Ja, abgesehen davon dass wir diese Folge nicht als reelle sondern als rationale Folge verstehen, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb Q\subset \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R \not\subset \mathbb Q_p \end{eqnarray*}$

16.05.2009, 23:17

kaguya_hime

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Vielleicht ist es eine dumme Frage, aber warum sollte (3^n) in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergieren?
Alle Folgenglieder haben zwar die Länge 1, aber warum ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} |3^n-1|_5 = 0 \end{eqnarray*}$ ?
traurig

17.05.2009, 00:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von kaguya_hime
Vielleicht ist es eine dumme Frage, aber warum sollte (3^n) in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q_5 \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergieren?
Alle Folgenglieder haben zwar die Länge 1, aber warum ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} |3^n-1|_5 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Das sehe ich auch nicht, denn für unendlich viele k ist $\begin{eqnarray*} 3^k - 1 \end{eqnarray*}$ ja wohl nicht durch 5 teilbar. Das heißt, für diese k haben wir die eindeutige Darstellung

$\begin{eqnarray*} 3^k - 1 = 5^0\cdot\frac{3^k - 1}{1}. \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} |3^k - 1|_5 = 5^{-0} = 1. \end{eqnarray*}$

17.05.2009, 10:59

Elvis

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Stimmt. Jetzt wo ihr das sagt, überzeugt mich mein Beitrag auch nicht mehr. Hammer

Mit den verschiedenen Beträgen bekommt man zwar unterschiedliches Konvergenzverhalten, aber ich sehe auch kein Beispiel für zwei verschiedene Grenzwerte.

28.05.2009, 17:00

Kassiopeia

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Hallo,

ich habe endlich ein Gegenbeispiel bekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} X=\{i r ,r>0\}\cup\{-1,1\}\subset \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ die Grundmenge der Metriken $\begin{eqnarray*} \varrho_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varrho_2 \end{eqnarray*}$ , also die positive imaginäre Achse ohne Null und die 1 und -1 auf der reellen Achse. Die Metriken werden wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \varrho_1(iy_1,iy_2)&=|y_1-y_2|\\ \varrho_1(1,-1)&=1\\ \varrho_1(1,iy)&=y\\ \varrho_1(-1,iy)&=1+y \end{array} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \varrho_2(iy_1,iy_2)&=|y_1-y_2|\\ \varrho_2(1,-1)&=1\\ \varrho_2(1,iy)&=1+y\\ \varrho_2(-1,iy)&=y \end{array} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} y_1,y_2,y>0 \end{eqnarray*}$ .
Dann konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \{z_n\}_{n\geq1}:=\left\{\frac{i}{n}\right\}_{n\geq1} \end{eqnarray*}$ bezüglich $\begin{eqnarray*} \varrho_1 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und bezüglich $\begin{eqnarray*} \varrho_2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \lim\limits_{n\to \infty}\rho_1\left(1,\frac{i}{n}\right)&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n}=0\\ \lim\limits_{n\to \infty}\rho_2\left(-1,\frac{i}{n}\right)&=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{n}=0. \end{array} \end{eqnarray*}$

29.05.2009, 19:07

Kassiopeia

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und jetzt interessiert mich nur noch, was passiert, wenn man den Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ fordert.

30.05.2009, 12:55

kaguya_hime

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Übrigens kann man die "Positionen" zweier Punkte in einem metrischen Raum vertauschen allein durch Manipulation der Metrik:

Sei also $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray*} a,b\in X, \,a\neq b \end{eqnarray*}$ .

Setze für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in X\setminus\{a,b\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho (a,x) := d(b,x) \\ \rho(b,x) := d(a,x) \\ \rho(x,y) := d(x,y)\\ \rho(a,b) := d(a,b) \end{eqnarray*}$
...

Dann ist $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ ebenfalls eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

Was war noch gleich Deine Frage? Augenzwinkern

30.05.2009, 14:16

Elvis

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@Kassiopeia
die Definition von $\begin{eqnarray*} \varrho_1,\varrho_2 \end{eqnarray*}$ sieht völlig identisch aus, ich werde daraus nicht schlau verwirrt

31.05.2009, 19:56

Romaxx

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Zitat:

Original von Kassiopeia
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \varrho_1(1,iy)&=y \end{array} \end{eqnarray*}$

...

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rl} \varrho_2(-1,iy)&=y \end{array} \end{eqnarray*}$

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