Logarithmus-Aufgabe

15.05.2009, 18:39

JM1991

Logarithmus-Aufgabe

Hallo,
seit einem Tag versuche ich, bei der nachfolgenden Aufgabe einen Ansatz zu finden, leider erfolgslos. Die Aufgabe stammt aus einer uralten Aufgabensammlung, die ich zufällig gefunden habe, leider ohne Musterlösungen.
Die Aufgabe lautet:

Bestimme alle Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , für die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} lg(4x^2-(8a-1)x+5a^2)+x^2+(1-2a)x+2a^2=lg(x^2-2(a+1)x-a^2) \end{eqnarray*}$

genau eine reele Nullstelle hat.

Kann jemand ein Paar Tipps geben?
Danke

15.05.2009, 19:20

IfindU

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RE: Logarithmus-Aufgabe
Ich würds erstmal mit dem log-Gesetz probieren, vlt kommt ja was schönes dabei raus:
$\begin{eqnarray*} \log(a) - \log(b) = \log\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray*}$

Außerdem, wie kann eine Gleichung eine Nullstelle besitzen?

15.05.2009, 19:48

JM1991

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RE: Logarithmus-Aufgabe
Also gemeint ist, alle Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu finden, für die die Glechung genau eine reele Lösung hat.

Das Log-Gesetz hilft mir hier leider nicht viel.

16.05.2009, 15:44

domelius

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RE: Logarithmus-Aufgabe
Naja, bei solchen Aufgaben helfen meistens die Standardmethoden nicht, sondern braucht man verschiedene Tricks, um weiterzukommen. Leider werden in der Schule solche Aufgaben nicht diskutiert. Die Lehrer bzw. das blöde Schulprogramm kennen nur eins - Theorie und triviale Anwendungsbeispiele.

Zu der Aufgabe:

Mam kann die Gleichung in der folgenden Form umschreiben:

$\begin{eqnarray*} lg(4x^2-(8a-1)x+5a^2)+\frac{4x^2-(8a-1)x+5a^2}{3}=lg(x^2-2(a+1)x-a^2)+ \frac{x^2-2(a+1)x-a^2}{3} \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t)=lg(t)+\frac{t}{3} \end{eqnarray*}$ ist monoton steigend in t. Dann ist die Gleichung äquivalent zum System:

$\begin{eqnarray*} 4x^2-(8a-1)x+5a^2=x^2-2(a+1)x-a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-2(a+1)x-a^2>0 \end{eqnarray*}$

Versich jetzt bitte weiterzurechnen.

16.05.2009, 22:11

JM1991

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RE: Logarithmus-Aufgabe
Wow, wie kommst du denn darauf? Das mit der Monotonie habe ich nicht so richtig verstanden. Könntest du mir das genauer erklären?
Und wie geht es mit der Aufgabe weiter?

Vielen vielen Dank für die Hilfe.

16.05.2009, 22:18

Airblader

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RE: Logarithmus-Aufgabe

Zitat:

Und wie geht es mit der Aufgabe weiter?

Du hast nun eine simple quadratische Gleichung - das wirst du doch wohl noch hinbekommen. unglücklich

Zitat:

Das mit der Monotonie habe ich nicht so richtig verstanden. Könntest du mir das genauer erklären?

Du hast sowohl links als auch rechts das genannte f(t) stehen, lediglich das t ist anders.

Wenn man f(t) = f(t*) hat und f(t) monoton steigend ist, so muss auch t=t* gelten.
Stelle dir einfach mal eine monoton steigende Funktion vor. Wenn es zwei Stellen gibt, die den selben Funktionswert haben, ist es zwingend, dass es die selbe Stelle ist, d.h. eigentlich nur "eine" ist.

air

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