DGL-System |
15.05.2009, 20:27 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
DGL-System wir müssen in unserer Serie folgendes DGL-System (x(t), y(t), z(t)) lösen: Da die abgeleitete Matrix dieses Systems offensichtlich symmetrisch ist, könnte man ja ganz orthodox über die Eigenvektoren gehen. Die Lösung sollte dann sein. Nun wird in unserem Lehrbuch, allerdings anhand eines zweidimensionalen Systems, noch ein gänzlich anderer Lösungsweg beschrieben. Die Idee ist dort, das System durch Elimination einer Variablen auf eine DGL 2. Ordnung zu bringen und diese dann wie gewöhnlich über das charakteristische Polynom zu lösen.Selbiges habe ich hier also auch probiert, nur klappt es nicht so ganz, wie ich mir das vorgestellt habe. Vorab aber noch die allgemeine Frage: Welche Methode findet ihr sinnvoller? Außerdem: Gilt die Aussage, dass man jedes n-dimensionale System obiger Art auf eine n-dimensionale DGL zurückführen kann? Ich komme nämlich mit "meiner" Methode hier ebenfalls wieder auf eine zweidimensionale DGL, obgleich es sich ja um ein dreidimensionales System handelt. Aber seht selbst: Setzt man nun (1) und (was ebenfalls aus (1) folgt) in (2) ein, bekommt man: . Das ist schon fast die gewünschte DGL. Stört nur noch das . Nun habe ich folgenden, wahrscheinlich unzulässigen (?) "Trick" gebraucht: Aus (1)&(3) folgt: . Also (?) gilt: . Damit bekäme man dann die gewünschte DGL: Löst man diese, bekommt man bekanntlich nur eine zweiparametrige Lösungsschar. Es geht also "eine" Lösung verlören. Wo? Wahrscheinlich hier , oder? Wie behebt man also das Problem nun? Wenn man setzt, bringt das ja irgendwie auch nicht die Welt. Der Autor in seinem Buch kommt übrigens ohne Integration aus, weil er eben als Beispiel nur ein zweidimensionales System betrachtet. Kann man die Aufgabe mit der von mir skizzierten Methode lösen? Vielen Dank für eure Mühen! es grüsst, Komand |
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16.05.2009, 23:03 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
vorweg: Im ersten Vektor ist ein Schreib- oder Rechenfehler. Es sollte sein. Mit Dgl. meine ich eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die beiden Methoden, die Du erwähnst, haben folgende Beziehung zueinander: (1) Jede Dgl. n-ter Ordnung läßt sich überführen in ein System von n Dgln. erster Ordnung. Das ist der Trick, die Funktion und ihre ersten n-1 Ableitungen als unabhängige Variablen aufzufassen. Dieses System ist gegeben durch eine Matrix der Form im Fall n=3 (2) Hat man umgekehrt ein beliebiges System von n Dgln. erster Ordnung, so ist die Frage, ob man es immer in obige Matrixform bringen kann, denn dann kann kann man das System zusammenfassen in einer einzigen Dgl. n-ter Ordnung. Diese Frage kann man mittels der linearen Algebra beantworten und zwar ist dies genau dann der Fall, wenn es einen zyklischen Vektor zur System-Matrix A gibt. Das ist ein Vektor v, so dass v, Av, A^2v, A^3v,... ein Erzeugendensystem des Vektorraumes bilden. Ein einfaches Beispiel für eine Matrix, die keinen zyklischen Vektor besitzt, ist die Einheitsmatrix. Sprich: das System läßt sich nicht in eine einzige Dgl. 2-ter Ordnung überführen. Praktisches Fazit: Ich würde ein System von Dgln. erster Ordnung direkt lösen und nicht versuchen in eine Dgl. n-ter Ordnung umzuformen,da es ja vielleicht auch gar nicht möglich ist. Das obige System ist allerdings zusammenfassbar in einer einzigen Dgl zwar nicht zweiter, aber dritter Ordnung. Wir wissen aufgrund der Eigenwertzerlegung, dass unser System nach einer Koordinatentransformation in der Eigenbasis die Form hat. Führe nun Kordinaten ein. Dann erhält man eine Matrix wie in (1). (Idee: xi ist ein zyklischer Vektor) Zum Thema könnte man noch einiges schreiben, aber ich frage jetzt erstmal, ob ich mich bis hierhin verständlich ausgedrückt habe. ^^ |
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17.05.2009, 16:07 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi Kaguya, Vielen Dank, dass du dich der Sache angenommen hast!
Da ich nur ein Maschinenbauer und kein Mathematiker bin, muss ich auch immer aufpassen, vor lauter Bäumen den Wald nicht zu übersehen. Allerdings interessiert mich das Thema schon ziemlich, die Verlockung ist also groß. Grüße, Komand Ps: ich habe hier ebenfalls ein kleines Verständnisproblem, falls dir dazu noch etwas einfallen würde, wäre das super!! |
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17.05.2009, 21:49 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Für :
Weder noch, ich habe so meine Vermutungen, aber Maschinenbauer kommen dabei nicht gut weg.
Wenn Du ein Dgl.-System mit einer Matrix der Form gegeben hast, dann steht das ja für die Gleichungen Setze nun einfach die erste in die zweite und das Ergebnis in die dritte Gleichung ein. So erhält man eine Dgl. 3. Ordnung in x.
Es gibt auch ein Lösungsrezept für nicht-diagonalisierbare Matrizen. |
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17.05.2009, 23:13 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi Kaguya, das hier ist wohl unsere zweite Baustelle.
Mist, dann habe ich mich wohl verrechnet, was
Funktioniert das mittels der Wronski-Matrix (alias Fundamentalsystem)? Brauchst nur ja/nein antworten, denn das passende Kochbuch habe ich bereits vorliegen.
Ok, das klingt sehr nachvollziehbar und ist ja genau das Vorgehen zur Ordnungsreduktion. Ich hatte blöd gefragt, eigentlich wollte ich wissen, wie ich mit den transformierten Koordinaten zur Matrix komme? Was genau ist ein "zyklischer Vektor"? Ich würde mich sehr freuen, wenn du das Beispiel mit mir "durchziehen" könntest! Vielen Dank!! Komand ps: morgen ist auch noch ein Tag |
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18.05.2009, 19:47 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Zum Lösen eines allgemeinen Dgl.-Systems x'=Ax bildet man die matrixwertige Exponentialfunktion . (Das Fundamentalsystem ist Basis des Vektorraums aller Lösungen, hat aber nicht direkt etwas mit der Lösungsstrategie zu tun.) Ein zyklischer Vektor (im R^3) ist ein Vektor v, so dass eine Basis bilden. Schreibt man nun A in der zyklischen Basis, erhält man genau eine Matrix wie für eine Dgl. dritter Ordnung (s.o.). Aber wie gesagt: Das ist eher von theoretischem Interesse, da man in der Praxis den Weg von einem DGL-System 1. Ordnung zu einer einzigen DGL n-ter Ordnung eigentlich nicht geht.
Schauen wir uns einmal unser Problem vom Anfang an: Es sind ja oft Anfangswerte gegeben, also etwa . Nun wollen wir diesen Vektor als Linearkombination von Eigenwerten schreiben. Dazu bilden wir die Matrix B mit Eigenvektoren als Spalten: Dann bekommen wir die gewünschten Koeffizienten durch . Das gesamte System ändert sich zu mit x=(x,y,z) und siehe da: hat Diagonalgestalt. |
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18.05.2009, 20:36 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi,
Das ist aber nicht die Antwort auf die Frage,
Ich dachte der Weg sei folgender: 1. man bastelt sich (wie?-->eigentliche Frage) aus der Koordinatentransformation eine Matrix der Form
2. man zieht daraus eine DGL dritter Ordnung 3. man löst diese und kommt dann auf die Lösungsmatrix
War das nicht die Idee? Ich verstehe den Sinn des unteren Teils deiner Antwort nicht, weil du ja dort bereits die Lösung verwendest, um auf die Lösung zu kommen!(?)
Ok, aber damit ist noch kein Anfangswertproblem gelöst. Dazu, so steht es jedenfalls in meinem Skript, kann (muss?) man dann die Wronski-Matrix, resp. ihre Inverse, verwenden. Komand |
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18.05.2009, 20:47 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Da haben wir uns etwas missverstanden. Wenn man nun statt der Eigenbasis eine zyklische Basis nimmt erhält man eine Matrix für eine Dgl. n-ter Ordnung. Nur kommt man von da aus nicht viel weiter, es sei denn man kennt die Dgl. schon, (was in zwei Dimensionen häufig der Fall ist). Wie gesagt, man hat eine allgemeine Lösungstechnik für Systeme von Dgln. erster Ordnung (linear, mit konstanten Koeff. ). Was will man mehr? Übrigens ist genau die Wronski-Matrix des Systems. Das Anfangswertproblem wird gelöst von . |
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18.05.2009, 21:19 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi,
Das heißt mein drei-Punkte-Plan stimmt, aber die DGL dritter Ordnung, die sich daraus ergibt, ist nicht so ohne weiteres lösbar. Kannst du mir aber nicht trotzdem zeigen, wie man zur DGL kommt? Bitte, bitte, bitte...!
Ich zitiere mal aus meinem Skript (wahrscheinlich meinen wir beide das selbe, ohne dass ich es erkenne):
A ist eine konstante nxn-Matrix. Nun lässt sich aus dem System eine assoziierte DGL n-Ordnung bilden, zu der sich ein Fundamentalsystem mittels des charakteristischen Polynoms bilden lässt. Dann:
Dabei gilt: . Wie geht das jetzt mit
Danke fürs Durchhalten! Komand |
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19.05.2009, 02:41 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
RE: DGL-System
Was soll das denn bedeuten? Meinst du wirklich y' = xyz? Dann wäre das System nicht linear. Oder meinst du vielleicht y' = x + y + z? |
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19.05.2009, 10:08 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi, gemeint ist das lineare System mit ! Steht bei uns in der Aufgabe aber auch nicht eindeutiger. Grüße, Komand |
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19.05.2009, 22:33 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Nein, nein und nein. Jetzt ist es wirklich nicht mehr schwer. Ich würde Dich ja der Freude berauben, es selbst zu finden. Was lerntest Du denn, wenn ich Dir verriete, man nehme nur einen beliebigen Vektor , --keinen Eigenvektor versteht sich-- und dann noch und , das wären dann die Spalten der Transformationsmatrix B wie oben mit der Eigenbasis, und schon hätte man, wenn man nur bildete, die gewünschte Matrix? Nichts würdest Du lernen, da Du's nicht selber tätest. Und ich? Mich schölte der Web Fritzi, und zwar zurecht, weil ich wieder plapperte. von jetzt an musst Du alleine weitermachen...au revoir. ^^ PS: |
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19.05.2009, 22:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Was bitte? Wär schön, wenn du dich mal so ausdrücken würdest, dass man dich auch versteht. |
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19.05.2009, 22:47 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi, ok, mit der Matrix gebe ich mich vorerst zufrieden - Ich werde mich in den bald beginnenden Semesterferien dransetzen und mich dann mit dem Ergebnis melden. Aber kannst du mir bitte noch beantworten, ob mein "Drei-Punkte-Plan" und die Überlegungen zur Wronski-Matrix stimmen! Dann könnte ich beruhigt schlafen! anyway: ein herzliches Dankeschön! Komand |
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19.05.2009, 22:59 | kaguya_hime | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Du meinst den Schritt vom System von n Dgln. auf eine Dgl n-ter Ordnung? Den ersten Schritt habe ich Dir im letzten Post skizziert. Du kannst wirklich irgendeinen Nichteigenvektor nehmen und dann mit B=(v,Av,A^2v) als Transformationsmatrix rechnen. Du kommst dann auf eine Dgl. n-ter Ordnung. Aber für eine Dgl. n-ter Ordnung gibt es kein Lösungsrezept, außer wir überführen es in ein System von n Dgln. erster Ordnung und hier drehen wir uns im Kreis... Zu Deinem letzten Punkt kann ich Dir wenig sagen, da ich mit der Notation nicht vertraut bin. Schau einfach mal in der Literatur nach der Exponentialfunktion für Matrizen. (Alle Dgln. in diesem Post sind linear und haben konstante Koeffizienten.) |
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19.05.2009, 23:15 | Komand | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi,
Wie gesagt, die Diskussion hat für mich eher intellektuellen Wert. Wie auch immer, beenden wir es vorerst mal, ich lasse es mal "einsickern" und melde mich dann noch einmal (obgleich ich fürchte, dann nicht wesentlich schlauer zu sein) Komand |
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