DGL-System

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Komand Auf diesen Beitrag antworten »
DGL-System
Hi,

wir müssen in unserer Serie folgendes DGL-System (x(t), y(t), z(t)) lösen:

Da die abgeleitete Matrix dieses Systems offensichtlich symmetrisch ist, könnte man ja ganz orthodox über die Eigenvektoren gehen. Die Lösung sollte dann

sein.

Nun wird in unserem Lehrbuch, allerdings anhand eines zweidimensionalen Systems, noch ein gänzlich anderer Lösungsweg beschrieben. Die Idee ist dort, das System durch Elimination einer Variablen auf eine DGL 2. Ordnung zu bringen und diese dann wie gewöhnlich über das charakteristische Polynom zu lösen.Selbiges habe ich hier also auch probiert, nur klappt es nicht so ganz, wie ich mir das vorgestellt habe.

Vorab aber noch die allgemeine Frage: Welche Methode findet ihr sinnvoller? Außerdem: Gilt die Aussage, dass man jedes n-dimensionale System obiger Art auf eine n-dimensionale DGL zurückführen kann? Ich komme nämlich mit "meiner" Methode hier ebenfalls wieder auf eine zweidimensionale DGL, obgleich es sich ja um ein dreidimensionales System handelt. Aber seht selbst:

Setzt man nun (1) und (was ebenfalls aus (1) folgt) in (2) ein, bekommt man: . Das ist schon fast die gewünschte DGL. Stört nur noch das . Nun habe ich folgenden, wahrscheinlich unzulässigen (?) "Trick" gebraucht: Aus
(1)&(3) folgt: . Also (?) gilt: . Damit bekäme man dann die gewünschte DGL: Löst man diese, bekommt man bekanntlich nur eine zweiparametrige Lösungsschar. Es geht also "eine" Lösung verlören. Wo? Wahrscheinlich hier , oder? Wie behebt man also das Problem nun? Wenn man setzt, bringt das ja irgendwie auch nicht die Welt. Der Autor in seinem Buch kommt übrigens ohne Integration aus, weil er eben als Beispiel nur ein zweidimensionales System betrachtet.
Kann man die Aufgabe mit der von mir skizzierten Methode lösen?

Vielen Dank für eure Mühen!

es grüsst, Komand
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

vorweg: Im ersten Vektor ist ein Schreib- oder Rechenfehler. Es sollte sein.

Mit Dgl. meine ich eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.


Die beiden Methoden, die Du erwähnst, haben folgende Beziehung zueinander:

(1) Jede Dgl. n-ter Ordnung läßt sich überführen in ein System von n Dgln.
erster Ordnung. Das ist der Trick, die Funktion und ihre ersten n-1 Ableitungen als unabhängige Variablen aufzufassen. Dieses System ist gegeben durch eine Matrix der Form

im Fall n=3

(2) Hat man umgekehrt ein beliebiges System von n Dgln. erster Ordnung, so ist die Frage, ob man es immer
in obige Matrixform bringen kann, denn dann kann kann man das System zusammenfassen in einer einzigen
Dgl. n-ter Ordnung. Diese Frage kann man mittels der linearen Algebra beantworten und zwar ist dies genau
dann der Fall, wenn es einen zyklischen Vektor zur System-Matrix A gibt. Das ist ein Vektor v, so dass
v, Av, A^2v, A^3v,... ein Erzeugendensystem des Vektorraumes bilden. Ein einfaches Beispiel für eine
Matrix, die keinen zyklischen Vektor besitzt, ist die Einheitsmatrix. Sprich: das System

läßt sich nicht in eine einzige Dgl. 2-ter Ordnung überführen.

Praktisches Fazit: Ich würde ein System von Dgln. erster Ordnung direkt lösen und nicht versuchen in eine Dgl. n-ter Ordnung umzuformen,da es ja vielleicht auch gar nicht möglich ist.

Das obige System ist allerdings zusammenfassbar in einer einzigen Dgl zwar nicht zweiter, aber dritter Ordnung.
Wir wissen aufgrund der Eigenwertzerlegung, dass unser System nach einer Koordinatentransformation in der
Eigenbasis die Form

hat. Führe nun Kordinaten

ein. Dann erhält man eine Matrix wie in (1). (Idee: xi ist ein zyklischer Vektor)

Zum Thema könnte man noch einiges schreiben, aber ich frage jetzt erstmal, ob ich mich bis hierhin verständlich ausgedrückt habe. ^^
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Kaguya,

Vielen Dank, dass du dich der Sache angenommen hast! smile

Zitat:
Es sollte sein.
Ich habe es soeben mit folgender Konfiguaration überprüfen wollen: C_1=C_2=1 und C_3=0, dabei aber zu meinem Erstaunen festgestellt, dass weder deine noch meine Lösung funktioniert. Liegt das daran, dass man C_3 nicht null setzen darf (warum?) oder sind dann schlicht und einfach meine anderen Werte falsch?

Zitat:
Praktisches Fazit: Ich würde ein System von Dgln. erster Ordnung direkt lösen und nicht versuchen in eine Dgl. n-ter Ordnung umzuformen,da es ja vielleicht auch gar nicht möglich ist.
Solche Tipps brauche ich, Vielen Dank! Allerdings wäre ich froh, wenn du mir noch genauer erklärst, was du unter "direkt lösen" verstehst - etwa den Weg über die Eigenvektoren? Dieser hat aber den Schönheitsfehler, dass er ausschliesslich mit diagonalisierbaren Matrizen funktioniert, richtig?

Zitat:
Das obige System ist allerdings zusammenfassbar in einer einzigen Dgl zwar nicht zweiter, aber dritter Ordnung. Wir wissen aufgrund der Eigenwertzerlegung, dass unser System nach einer Koordinatentransformation in der Eigenbasis die Form hat. Führe nun Kordinaten ein. Dann erhält man eine Matrix wie in (1). (Idee: xi ist ein zyklischer Vektor)
Da komme ich nun leider nicht mehr mit. Die Matrix, die du in (1) zitierst ergibt sich ja aus dem Ordnungsreduktionsverfahren. Wie aber zieht man nun aus dieser Matrix eine DGL dritter Ordnung? (Dass ich die Koordinatentransformation in der Eigenbasis noch nicht checke, ist nicht weiter schlimm, weil ich LinAlg eh noch komplett aufarbeiten muss)

Da ich nur ein Maschinenbauer und kein Mathematiker bin, muss ich auch immer aufpassen, vor lauter Bäumen den Wald nicht zu übersehen. smile Allerdings interessiert mich das Thema schon ziemlich, die Verlockung ist also groß. Big Laugh

Grüße, Komand

Ps: ich habe hier ebenfalls ein kleines Verständnisproblem, falls dir dazu noch etwas einfallen würde, wäre das super!!
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Für :


Zitat:

Liegt das daran, dass man C_3 nicht null setzen darf (warum?) oder sind dann schlicht und einfach meine anderen Werte falsch?

Weder noch, ich habe so meine Vermutungen, aber Maschinenbauer kommen dabei nicht gut weg. Augenzwinkern

Zitat:

Wie aber zieht man nun aus dieser Matrix eine DGL dritter Ordnung?

Wenn Du ein Dgl.-System mit einer Matrix der Form

gegeben hast, dann steht das ja für die Gleichungen

Setze nun einfach die erste in die zweite und das Ergebnis in die dritte Gleichung ein. So erhält man eine Dgl. 3. Ordnung in x.

Zitat:

Allerdings wäre ich froh, wenn du mir noch genauer erklärst, was du unter "direkt lösen" verstehst - etwa den Weg über die Eigenvektoren? Dieser hat aber den Schönheitsfehler, dass er ausschliesslich mit diagonalisierbaren Matrizen funktioniert, richtig?


Es gibt auch ein Lösungsrezept für nicht-diagonalisierbare Matrizen.
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Kaguya,

das hier ist wohl unsere zweite Baustelle.

Zitat:
Für :

Mist, dann habe ich mich wohl verrechnet, was
Zitat:
Weder noch, ich habe so meine Vermutungen, aber Maschinenbauer kommen dabei nicht gut weg. Augenzwinkern
leider bestätigt. Big Laugh

Zitat:
Es gibt auch ein Lösungsrezept für nicht-diagonalisierbare Matrizen.

Funktioniert das mittels der Wronski-Matrix (alias Fundamentalsystem)? Brauchst nur ja/nein antworten, denn das passende Kochbuch habe ich bereits vorliegen. Augenzwinkern

Zitat:
gegeben hast, dann steht das ja für die Gleichungen Setze nun einfach die erste in die zweite und das Ergebnis in die dritte Gleichung ein. So erhält man eine Dgl. 3. Ordnung in x.

Ok, das klingt sehr nachvollziehbar und ist ja genau das Vorgehen zur Ordnungsreduktion. Ich hatte blöd gefragt, eigentlich wollte ich wissen, wie ich mit den transformierten Koordinaten zur Matrix komme? Was genau ist ein "zyklischer Vektor"?

Ich würde mich sehr freuen, wenn du das Beispiel mit mir "durchziehen" könntest!

Vielen Dank!!

Komand

ps: morgen ist auch noch ein Tag smile
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Lösen eines allgemeinen Dgl.-Systems x'=Ax bildet man die
matrixwertige Exponentialfunktion .
(Das Fundamentalsystem ist Basis des Vektorraums aller Lösungen, hat aber nicht direkt etwas mit der Lösungsstrategie zu tun.)

Ein zyklischer Vektor (im R^3) ist ein Vektor v, so dass eine Basis bilden.
Schreibt man nun A in der zyklischen Basis, erhält man genau eine Matrix wie für eine Dgl. dritter Ordnung (s.o.).
Aber wie gesagt: Das ist eher von theoretischem Interesse, da man in der Praxis den Weg von
einem DGL-System 1. Ordnung zu einer einzigen DGL n-ter Ordnung eigentlich nicht geht.

Zitat:

wie ich mit den transformierten Koordinaten zur Matrix komme?


Schauen wir uns einmal unser Problem vom Anfang an:
Es sind ja oft Anfangswerte gegeben, also etwa . Nun wollen wir diesen Vektor als Linearkombination von Eigenwerten schreiben. Dazu bilden wir die Matrix B mit Eigenvektoren als Spalten:


Dann bekommen wir die gewünschten Koeffizienten durch .

Das gesamte System ändert sich zu

mit x=(x,y,z) und siehe da: hat Diagonalgestalt.
 
 
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Schauen wir uns einmal unser Problem vom Anfang an: Es sind ja oft Anfangswerte gegeben, also etwa . Nun wollen wir diesen Vektor als Linearkombination von Eigenwerten schreiben. Dazu bilden wir die Matrix B mit Eigenvektoren als Spalten: Dann bekommen wir die gewünschten Koeffizienten durch .

Das ist aber nicht die Antwort auf die Frage,
Zitat:
wie ich mit den transformierten Koordinaten zur Matrix komme?
, schließlich verwendest du ja für die Matrix B bereits die Lösung:
Zitat:

Ich dachte der Weg sei folgender: 1. man bastelt sich (wie?-->eigentliche Frage) aus der Koordinatentransformation eine Matrix der Form
Zitat:

2. man zieht daraus eine DGL dritter Ordnung
3. man löst diese und kommt dann auf die Lösungsmatrix
Zitat:

War das nicht die Idee?

Ich verstehe den Sinn des unteren Teils deiner Antwort nicht, weil du ja dort bereits die Lösung verwendest, um auf die Lösung zu kommen!(?)

Zitat:
Zum Lösen eines allgemeinen Dgl.-Systems x'=Ax bildet man die matrixwertige Exponentialfunktion .

Ok, aber damit ist noch kein Anfangswertproblem gelöst. Dazu, so steht es jedenfalls in meinem Skript, kann (muss?) man dann die Wronski-Matrix, resp. ihre Inverse, verwenden.

Komand
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Da haben wir uns etwas missverstanden. Wenn man nun statt der Eigenbasis eine zyklische Basis nimmt erhält man eine Matrix für eine Dgl. n-ter Ordnung. Nur kommt man von da aus nicht viel weiter, es sei denn man kennt die Dgl. schon, (was in zwei Dimensionen häufig der Fall ist). Wie gesagt, man hat eine allgemeine Lösungstechnik
für Systeme von Dgln. erster Ordnung (linear, mit konstanten Koeff.smile ). Was will man mehr?

Übrigens ist genau die Wronski-Matrix des Systems. Das Anfangswertproblem wird gelöst von .
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Wenn man nun statt der Eigenbasis eine zyklische Basis nimmt erhält man eine Matrix für eine Dgl. n-ter Ordnung. Nur kommt man von da aus nicht viel weiter, es sei denn man kennt die Dgl. schon, (was in zwei Dimensionen häufig der Fall ist)

Das heißt mein drei-Punkte-Plan stimmt, aber die DGL dritter Ordnung, die sich daraus ergibt, ist nicht so ohne weiteres lösbar. Kannst du mir aber nicht trotzdem zeigen, wie man zur DGL kommt? Bitte, bitte, bitte...! Augenzwinkern

Zitat:
Übrigens ist genau die Wronski-Matrix des Systems. Das Anfangswertproblem wird gelöst von .

Ich zitiere mal aus meinem Skript (wahrscheinlich meinen wir beide das selbe, ohne dass ich es erkenne):
Zitat:
Gegeben sei das Anfangswertproblem

A ist eine konstante nxn-Matrix.
Nun lässt sich aus dem System eine assoziierte DGL n-Ordnung bilden, zu der sich ein Fundamentalsystem mittels des charakteristischen Polynoms bilden lässt. Dann:
Zitat:
Da sich die einzelnen Komponenten der gesuchten Lösung als Linearkombinationen der Elemente dieses Fundamentalsystems darstellen lassen, gibt es eine konstante nxn-Matrix C, so dass eine Lösung des Anfangswertproblems ist.

Dabei gilt: .

Wie geht das jetzt mit
Zitat:
Übrigens ist genau die Wronski-Matrix des Systems. Das Anfangswertproblem wird gelöst von .
zusammen, dein A ist mein C, richtig? Mein I (-Fundamentalsystem) müsste ja deine e-Funktion sein.

Danke fürs Durchhalten!

Komand
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL-System
Zitat:
Original von Komand



Was soll das denn bedeuten? Meinst du wirklich y' = xyz? Dann wäre das System nicht linear. Oder meinst du vielleicht y' = x + y + z?
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

gemeint ist das lineare System mit ! Steht bei uns in der Aufgabe aber auch nicht eindeutiger.

Grüße, Komand
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kannst du mir aber nicht trotzdem zeigen, wie man zur DGL kommt? Bitte, bitte, bitte...!


Nein, nein und nein. Jetzt ist es wirklich nicht mehr schwer. Ich würde Dich ja der Freude berauben, es selbst zu finden. Was lerntest Du denn, wenn ich Dir verriete, man nehme nur einen beliebigen Vektor , --keinen Eigenvektor versteht sich-- und dann noch und , das wären dann die Spalten der Transformationsmatrix B wie oben mit der Eigenbasis, und schon hätte man, wenn man nur bildete, die gewünschte Matrix? Nichts würdest Du lernen, da Du's nicht selber tätest. Und ich? Mich schölte der Web Fritzi, und zwar zurecht, weil ich wieder plapperte.

von jetzt an musst Du alleine weitermachen...au revoir. ^^

PS: Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kaguya_hime
Mich schölte


Was bitte? Wär schön, wenn du dich mal so ausdrücken würdest, dass man dich auch versteht. Augenzwinkern
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ok, mit der Matrix gebe ich mich vorerst zufrieden Augenzwinkern - Ich werde mich in den bald beginnenden Semesterferien dransetzen und mich dann mit dem Ergebnis melden.
Aber kannst du mir bitte noch beantworten, ob mein "Drei-Punkte-Plan" und die Überlegungen zur Wronski-Matrix stimmen!
Dann könnte ich beruhigt schlafen! smile

anyway: ein herzliches Dankeschön!

Komand
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst den Schritt vom System von n Dgln. auf eine Dgl n-ter Ordnung?

Den ersten Schritt habe ich Dir im letzten Post skizziert. Du kannst wirklich irgendeinen Nichteigenvektor nehmen
und dann mit B=(v,Av,A^2v) als Transformationsmatrix rechnen. Du kommst dann auf eine Dgl. n-ter Ordnung. Aber für eine Dgl. n-ter Ordnung gibt es kein Lösungsrezept, außer wir überführen es in ein System von n Dgln. erster Ordnung und hier drehen wir uns im Kreis...

Zu Deinem letzten Punkt kann ich Dir wenig sagen, da ich mit der Notation nicht vertraut bin. Schau einfach mal in der Literatur nach der Exponentialfunktion für Matrizen.

(Alle Dgln. in diesem Post sind linear und haben konstante Koeffizienten.)
Komand Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
Du kommst dann auf eine Dgl. n-ter Ordnung. Aber für eine Dgl. n-ter Ordnung gibt es kein Lösungsrezept, außer wir überführen es in ein System von n Dgln. erster Ordnung und hier drehen wir uns im Kreis...

Wie gesagt, die Diskussion hat für mich eher intellektuellen Wert. Wie auch immer, beenden wir es vorerst mal, ich lasse es mal "einsickern" und melde mich dann noch einmal (obgleich ich fürchte, dann nicht wesentlich schlauer zu sein)

Komand
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