Kern bestimmen...

16.05.2009, 17:49	Son-Gokuu	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern bestimmen... Moinsen, hätte eine Frage und zwar wie man den Kern hier genau berechnet, eigtl. hab ich ja dabei keine Probleme, aber bei der Matrix schon: $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 & 8 & -4 \\ 4 & 0 & -4 & 16 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 4 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeilenstufenform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 & 8 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, nun haben wir also 4 freie Variablen, also einen 4-dimensionalen Kern. $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ist unsere gebundene Variable, also setzen wir: $\begin{eqnarray} x_2:=a, x_3:=b,x_4:=c,x_5:=d \end{eqnarray}$ Also liefert die erste Zeile: $\begin{eqnarray} 2x_1-2b+8c-4d=0 <=> x_1=b-4c+2d \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} ker(A)=(a\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Die Lösung sagt aber, dass der Kern so lautet: $\begin{eqnarray} ker(A)=(a\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+c\begin{pmatrix} -4 \\ -8 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+d\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Wie kommen sie darauf?
17.05.2009, 01:31	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern bestimmen... Guten Abend Son-Gokuu, Nur so viel: beide Lösungen sind gleich und somit ist Deine natürlich auch richtig. Deine Lösung kann ich sogar nachvollziehen - wie die Musterlösung zustande kommt, konnte ich hingegen auf die Schnelle nicht erkennen. Gerade die Werte -8 und 4 in der zweiten Komponente erstaunen mich, da dort ja genausogut Einsen stehen könnten. Gruß, Reksilat.

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