Gleichmäßige Stetigkeit von sqrt(x)

16.05.2009, 19:30	Itachi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit von sqrt(x) Hi ihr, muss für ein Übungsblatt die gleichmäßige Stetigkeit von sqrt(x) beweisen. http://www.math.lmu.de/~philip/teaching/...exercises03.pdf Dashier ist die Aufgabe, Nummer 4 meine ich. Den ersten Teil der Anleitung hab ich geschafft, folgt recht schnell weil sqrt(x) streng monoton steigend ist (, oder? ) Ich steck im zweiten Teil fest. Es ist also \|x-y\| < e² => sqrt( \|x-y\| ) < e Wie mach ich ab da weiter? Ich rieche schon, dass ich irgendwo die Dreiecksungleichung brauche, und wahrscheinlich nur noch 2-3 Schritte von der Lösung weg bin, aber ich steck fest. Die Zeile hier hab ich schon da, aber das macht glaub ich keinen Sinn sqrt( \|x-y\| ) < sqrt(x) + sqrt(y) Danke schonmal =)
16.05.2009, 20:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Denke an die binomische Formel $\begin{eqnarray} (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y \end{eqnarray}$ .
17.05.2009, 00:43	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich finde den Hinweis viel zu umständlich. Man kann auch gleich zeigen, dass für y > x gilt $\begin{eqnarray} \sqrt y - \sqrt x \le \sqrt{y - x}. \end{eqnarray}$ Das lässt sich ähnlich beweisen wie der Hinweis und passt viel besser zur Aufgabe.
17.05.2009, 16:07	Dinosaur	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Tipp ist folgender: Beweise folgende Ungleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \mid\sqrt{x} -\sqrt{x_0}\mid \leq \sqrt{\mid x-x_0 \mid} <br /> \end{eqnarray}$ Somit siehst du auch direkt, was du für ein Delta angeben musst.
18.05.2009, 00:44	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch genau das, was ich auch geschrieben habe.

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