Matrix: Variable je nach Lösbarkeit bestimmen

16.05.2009, 21:00

dermichl

Matrix: Variable je nach Lösbarkeit bestimmen

zusammen,

ich grübel hier schon seit über 2 Stunden an einer Aufgabe von der ich zwar die Lösung habe, ich aber irgendwie nicht zu genau dieser Lösung komme unglücklich

Gegeben ist dieses Gleichungssytem:

2x + 2y -2z = 2
x + 2y +az = 2
2x + ay +2z = 3

Zu diesem LGS sollen nun die Werte für a bestimmt werden für welche das LGS

-keine Lösung hat
-genau 1 Lösung hat
-unendlich viele Lösungen hat

Ich habe dann als erstes diese Matrix dazu aufgestellt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 &2 &-2 &|2 \\ 1 &2 &a &|2\\ 2 &a &2 &|3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und nach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &|1 \\ 0 &1 &(a+1) &|1\\ 0 &1 &\frac{4}{a-2}&|\frac{1}{a-2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ umgeformt. Dabei teile ich auch irgendwann durch (a-2), hierbei muss natürlich $\begin{eqnarray*} a\neq2 \end{eqnarray*}$ gelten.

Um das Ganze dann letztlich in Zeilestufenform zu bringen ziehe ich von der 3. Gleichung die 2. ab. Als Nebenrechnungen hierfür habe ich mir notiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{a-2}-(a+1)=\frac{4}{a-2}-\frac{(a+1)\cdot(a-2)}{a-2}=\frac{4}{a-2}-\frac{(a^{2}-2a+a-2)}{a-2}=\frac{4-a^{2}+2a-a+2}{a-2}=\frac{6-a^{2}+a}{a-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a-2}-1=\frac{1}{a-2}-\frac{a-2}{a-2}=\frac{1-a+2}{a-2}=\frac{3-a}{a-2} \end{eqnarray*}$

In Zeilestufenform sieht die Matrix nun so aus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &|1 \\ 0 &1 &(a+1) &|1 \\ 0 &0 &\frac{6-a^{2}+a}{a-2}&|\frac{3-a}{a-2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mein Skript richtig interpretiert habe, verhält es sich nun so:

-Es gibt keine Lösung, wenn alle Stellen in der letzten Zeile 0 sind, die zugehörige Stelle im Ergebnisvektor aber ungleich 0 ist.
-Es gibt unendlich viele Lösungen, wenn die komplette Zeile, inkl. der Stelle im Ergebnisvektor 0 ist - die Zeile also quasi wegfällt.
-Für alle anderen Kombinationen, bzw. wenn dim(L) = 3 - Rg(A;b) = 0 gilt, gibt es genau eine Lösung

Um herauszufinden für welches a es keine Lösung gibt, habe ich nun gerechnet: $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{6-a^{2}+a}{a-2}=0 \implies a^{2}-a=6 \implies a=3 \end{eqnarray*}$
Für a=3 wird also nun die letzte Stelle in der letzten Zeile der Matrix 0, wobei man annehmen könnte das es für a=3 keine Lösung des LGS gibt. Da für a=3 aber auch die zugehörige Stelle im Ergebnisvektor 0 und somit die ganze Zeile inkl. Ergebnis 0 wird gibt es also für a=3 unendlich viele Lösungen.
Das Problem ist jetzt, dass ich mir in der Vorlesung notiert habe, das es für $\begin{eqnarray*} a \in R \setminus \{-2;3\} \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung des LGS gibt.
Daraus müsste aber dann meiner Meinung nach auch folgen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{6-a^{2}+a}{a-2} \end{eqnarray*}$ für a=-2 gleich 0 wird, was ja nun nicht der Fall ist. An dieser Stelle bin ich nun hängen geblieben. Mir stellt sich nun a) die Frage, wie ich generell ausrechne für welches a ein Term 0 wird, der andere aber nicht und b) ob ich mir die Lösung falsch aufgeschrieben habe oder c) ob ich irgendwas gänzlich falsch gemacht habe verwirrt

Für Lösungshinweise jeglicher Art, wäre ich sehr dankbar!!!

Viele Grüße,
Michl

16.05.2009, 23:40

Reksilat

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RE: Matrix: Variable je nach Lösbarkeit bestimmen
Hallo Michl,

Zitat:

Original von dermichl
Daraus müsste aber dann meiner Meinung nach auch folgen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{6-a^{2}+a}{a-2} \end{eqnarray*}$ für a=-2 gleich 0 wird, was ja nun nicht der Fall ist.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{6-(-2)^2+(-2)}{(-2)-2}=\frac{6-4-2}{-4}=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

...hierbei muss natürlich $\begin{eqnarray*} a\neq 2 \end{eqnarray*}$ gelten.

Den Fall $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ musst Du dann natürlich auch noch betrachten.

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 09:51

dermichl

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Hi Reksilat,

öhm, ja, dass stimmt natürlich. Trotzdem frage ich mich, wie ich mir die -2 herleiten kann. Ich habe ja um das rauszubekommen $\begin{eqnarray*} \frac{6-a^{2}+a}{a-2}=0 \end{eqnarray*}$ gerechnet, wofür ich 3 herausbekommen habe. Eigentlich hätte ich dann erwartet, das hier die -2 rauskommt. Grundsätzlich frage ich mich aber auch, wie ich in solchen Fällen vorgehen muss um zu bestimmen für welches a das LGS keine oder unendlich viele Lösungen hat. Gibt es hierzu ein Schema F?

Zitat:

Den Fall $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ musst Du dann natürlich auch noch betrachten.

D.h., dass ich $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ in meine ursprünglich aufgestellte Matrix einsetze, und hinschreibe was herauskommt? Dafür bekomme ich heraus: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &|1 \\ 0 &1 &3 &|1 \\ 0 &0 &1 &|\frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Rechne ich dann hierfür einfach x1,x2 und x3 aus , schreibe das hin und stelle fest dass es für a=2 genau eine Lösung des LGS gibt, oder hat das noch irgend einen tieferen Sinn?

Danke, und viele Grüße,
Michl

17.05.2009, 10:17

Reksilat

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Also für mich hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2-a-6=0 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen: 3 und -2
Das ist Schulwissen!

Das mit $\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$ stimmt dann auch soweit, wobei man diese gesonderte Betrachtung auch vermeiden kann, wenn man nach dem ersten Schritt beim Gauß:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &|1 \\ 0 &1 &(a+1) &|1\\ 0 &a-2 &4&|1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
einfach das $\begin{eqnarray*} (a-2) \end{eqnarray*}$ -fache der zweiten Zeile von der dritten abzieht.

Man erhält:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &1 &-1 &\vline &1 \\ 0 &1 &(a+1) &\vline &1\\ 0 &0 &4-(a-2)(a+1)&\vline &1-(a-2)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erspart man sich die Division.

Gruß,
Reksilat.

17.05.2009, 10:51

dermichl

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Zitat:

Das ist Schulwissen!

Weiß ich doch, gerade deswegen hänge ich ja jetzt so. Das hat man eben davon, wenn man in der Schule nie richtig aufgepasst hat. Aber ich bin zuversichtlich das es besser wird Big Laugh

Auf jeden Fall vielen Dank für Deine Hilfe!!!

Gruß,
Michl

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