Beweis: Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen = Rechteck

17.05.2009, 14:34

lorenz1980

Beweis: Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen = Rechteck

Hi,

ich habe folgende Aufgabe und komme nicht zum Ende:
Beweisen Sie m.H. des Skalarprodukts, dass ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen ein Rechteck ist.

Mein Ansatz:
Das Parallelogramm mit den Eckpunkten A, B, C, D bestitz die Diagonalen AC und BD.
Der Winkel zwischen den Diagonalen/ den die Diagonalen einschließen ist
$\begin{eqnarray*} cos\theta = \frac{\vec{AC} \vec{BD}}{\mid \vec{AC} \mid \mid \vec{BD} \mid} \end{eqnarray*}$

Die Diagonalen sind gleich lang, so gilt:
$\begin{eqnarray*} cos\theta = \frac{\vec{AC} \vec{BD}}{\mid \vec{AC} \mid \mid \vec{AC} \mid} \end{eqnarray*}$

Und nun?!
Oder ist der Ansatz falsch?

17.05.2009, 14:40

WebFritzi

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Und was bringt dir der Winkel, den die Diagonalen einschließen? Du musst z.B. zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \vec{AB}\,\vec{AD} = 0 \end{eqnarray*}$

gilt.

17.05.2009, 15:30

lorenz1980

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Sei $\begin{eqnarray*} \vec{AB}=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AD}=v \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen <u,v>=0.

1. Diagonale: u+v
2. Diagonale: u-v

Vorgabe: |u+v|=|u-v|
|u+v|²=|u-v|² mit |a|²=a*a=a² (Skalar)
(u+v)²=(u-v)²
4uv=0
uv=0

qed

Passt das so? Bin irgendwie unzufrieden mit der Notation...

17.05.2009, 23:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von lorenz1980
Vorgabe: |u+v|=|u-v|
|u+v|²=|u-v|² mit |a|²=a*a=a² (Skalar)
(u+v)²=(u-v)²
4uv=0
uv=0

Ein paar logische Symbole sollten schon auftauchen, damit man auch weiß, wie die Zeilen miteinander in Beziehung stehen sollen. Ich würde es so aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} |u+v| = |u-v| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow |u+v|^2 = |u-v|^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow (u+v)^2 = (u-v)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow u^2 + 2uv + v^2 = u^2 - 2uv + v^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow 2uv = -2uv \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow 4uv = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow uv = 0. \end{eqnarray*}$

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